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問題｜1次関数の逆関数
関数 131次関数 \( y=3x+1~~(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) の逆関数の求め方は？また、もとのグラフとの関係は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
1次関数の逆関数
Point：1次関数の逆関数
① 定義域がある場合は値域を求める。
\( y=3x+1 \)、\( 0 {\small ~≦~} x {\small ~≦~} 2 \) より、
値域は \( 1 {\small ~≦~} y {\small ~≦~} 7 \)
② 1次関数の式を \( x \) について解く。
\(x=\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,3\,}=\frac{\,1\,}{\,3\,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}\)
③ \( x \) と \( y \) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}~~(\,1 {\small ~≦~} x {\small ~≦~} 7\,) \)
逆関数ともとの関数は、
直線 \(y=x\) に関して対称
※ 逆関数は \( y=f^{-1}(x) \) と書くことがある。
1次関数の逆関数の求め方は、
① 定義域がある場合は値域を求める。
\( y=3x+1 \)、\( 0 {\small ~≦~} x {\small ~≦~} 2 \) より、
値域は \( 1 {\small ~≦~} y {\small ~≦~} 7 \)
② 1次関数の式を \( x \) について解く。
\(x=\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,3\,}=\frac{\,1\,}{\,3\,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}\)
③ \( x \) と \( y \) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}~~(\,1 {\small ~≦~} x {\small ~≦~} 7\,) \)
逆関数ともとの関数は、
直線 \(y=x\) に関して対称
※ 逆関数は \( y=f^{-1}(x) \) と書くことがある。
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詳しい解説｜1次関数の逆関数
関数 131次関数 \( y=3x+1~~(\,0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\,) \) の逆関数の求め方は？また、もとのグラフとの関係は？
高校数学Ⅲ｜関数
\( y=3x+1 \)、\( 0 {\small ~≦~} x {\small ~≦~} 2 \) より、
\( x=0 \) のとき、\( y=3\cdot 0+1=1 \)
\( x=2 \) のとき、\( y=3\cdot 2+1=7 \)
これより、値域は \( 1 {\small ~≦~} y {\small ~≦~} 7 \)
次に、1次関数を \( x \) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3x+1
\\[3pt]~~~3x+1&=&y
\\[3pt]~~~3x&=&y-1
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,y-1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}y-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\( x \) と \( y \) を入れ替えると、
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となるので、
\( 1 {\small ~≦~} x {\small ~≦~} 7 \)
したがって、逆関数は、
\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}~~(\,1 {\small ~≦~} x {\small ~≦~} 7\,) \)
また、もとの関数との関係は、
グラフが直線 \( y=x \) に関して対称である
