- 数学Ⅲ｜関数「無理不等式の解の条件」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜無理不等式の解の条件
関数 12☆不等式 \(\sqrt{\,ax+b\,}\gt x-1\) の解が \(1\lt x\lt 3\) のとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
無理不等式の解の条件
Point：無理不等式の解の条件
① 無理関数と直線の式に分けて、グラフから解を満たす条件を考える。
不等式の解 \(1\lt x\lt 3\) より、
\(y=\sqrt{\,ax+b\,}\) と \(y=x-1\) は
\(x=1~,~3\) で交点をもつ。
② 直線の式と \(x\) 座標より、交点の座標を求める。
\(y=x-1\) より、\((1~,~0)~,~(3~,~2)\)
③ 交点の座標より、定数 \(a~,~b\) を求める。
\(\left\{~\begin{array}{l}\sqrt{\,a+b\,}=0\\\sqrt{\,3a+b\,}=2\end{array}\right.~\Rightarrow~a=2~,~b=-2\)
解が与えられた無理式と1次式の不等式は、
① 無理関数と直線の式に分けて、グラフから解を満たす条件を考える。
不等式の解 \(1\lt x\lt 3\) より、
\(y=\sqrt{\,ax+b\,}\) と \(y=x-1\) は
\(x=1~,~3\) で交点をもつ。
② 直線の式と \(x\) 座標より、交点の座標を求める。
\(y=x-1\) より、\((1~,~0)~,~(3~,~2)\)
③ 交点の座標より、定数 \(a~,~b\) を求める。
\(\left\{~\begin{array}{l}\sqrt{\,a+b\,}=0\\\sqrt{\,3a+b\,}=2\end{array}\right.~\Rightarrow~a=2~,~b=-2\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜無理不等式の解の条件
関数 12☆不等式 \(\sqrt{\,ax+b\,}\gt x-1\) の解が \(1\lt x\lt 3\) のとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
\(\sqrt{\,ax+b\,}\gt x-1\)
無理関数 \(y=\sqrt{\,ax+b\,}\) と直線の式 \(y=x-1\) に分けて、
不等式の解 \(1\lt x\lt 3\) より、
グラフは、
これより、\(x=1~,~3\) で交点をもてばよい
直線 \(y=x-1\) より、
\(x=1\) のとき、
\(y=1-1=0\)
\(x=3\) のとき、
\(y=3-1=2\)
よって、交点の座標は \((1~,~0)~,~(3~,~2)\)
無理関数 \(y=\sqrt{\,ax+b\,}\) に代入すると、
\((1~,~0)\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&\sqrt{\,a+b\,}\\[3pt]~~~\sqrt{\,a+b\,}&=&0\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(a+b=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\((3~,~2)\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2&=&\sqrt{\,3a+b\,}\\[3pt]~~~\sqrt{\,3a+b\,}&=&2\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(3a+b=4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
3a+b&=&4 \\~~
-\big{)}~~~a+b&=&0\\
\hline 2a&=&4
\\[3pt] a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2+b&=&0\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=2~,~b=-2\) となる
