- 数学Ⅲ｜関数「無理関数と直線の共有点の条件」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜無理関数と直線の共有点の条件
関数 11☆\( y=\sqrt{\,x\,} \) のグラフと \( y=x+k \) のグラフが異なる2つの共有点をもつような定数 \(k\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
無理関数と直線の共有点の条件
Point：無理関数と直線の共有点の条件
① 無理関数のグラフをかき、直線と2点で交わる範囲を調べる。
② 範囲の両端の点における \( k \) の値を求める。
\({\small [\,1\,]}~\)直線が接するとき
接する \(~\Leftrightarrow ~ \) 判別式 \( D=0 \)
\({\small [\,2\,]}~\)共有点が2個→1個と変わる点
この点の座標を直線に代入する
③ \( k \) の値の範囲を求める。
無理関数と直線が異なる2つの共有点をもつ条件は、
① 無理関数のグラフをかき、直線と2点で交わる範囲を調べる。
② 範囲の両端の点における \( k \) の値を求める。
\({\small [\,1\,]}~\)直線が接するとき
接する \(~\Leftrightarrow ~ \) 判別式 \( D=0 \)
\({\small [\,2\,]}~\)共有点が2個→1個と変わる点
この点の座標を直線に代入する
③ \( k \) の値の範囲を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜無理関数と直線の共有点の条件
関数 11☆\( y=\sqrt{\,x\,} \) のグラフと \( y=x+k \) のグラフが異なる2つの共有点をもつような定数 \(k\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
無理関数 \( y=\sqrt{\,x\,} \) のグラフをかき、
直線 \( y=x+k \)（傾き \( 1 \)、切片 \( k \)）と共有点を2つもつ範囲を視覚的に調べると、
これより、
\({\small [\,1\,]}~\)無理関数と直線が接するとき、
無理関数と直線の式を連立すると、
\( \sqrt{\,x\,}=x+k \)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&(x+k)^2
\\[3pt]~~~x&=&x^2+2kx+k^2
\\[3pt]~~~x^2+2kx+k^2&=&x
\\[3pt]~~~x^2+2kx+k^2-x&=&0
\\[3pt]~~~x^2+(2k-1)x+k^2&=&0
\end{eqnarray}\)
接する条件より、判別式 \( D=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~D=(2k-1)^2-4k^2&=&0
\\[3pt]~~~4k^2-4k+1-4k^2&=&0
\\[3pt]~~~-4k+1&=&0
\\[3pt]~~~-4k&=&-1
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、直線は無理関数に接する
\({\small [\,2\,]}~\)共有点が2個から1個に変わる点は、
原点 \((0~,~0)\) を通るときとなるので、直線 \( y=x+k \) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&0+k
\\[3pt]~~~k&=&0
\end{eqnarray}\)
よって、\( k=0 \) のときまでは無理関数と直線は2点で交わる
したがって、異なる2つの共有点をもつ範囲は、
\( k=0 \) 以上で \(k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) より小さい範囲となるので、
\( 0 {\small ~≦~} k \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \) となる
※ \( k=0 \) のときは2点で交わり含むが、
\(k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のときは接するので含まない。
