- 数学Ⅲ｜関数「無理関数のグラフと不等式の解」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜無理関数のグラフと不等式の解
関数 10不等式 \( \sqrt{\,2x+6\,}\gt x-1 \) のグラフを用いた解の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
無理関数のグラフと不等式の解
Point：無理関数のグラフと不等式の解
① 無理関数と直線の式に分けて、交点を求めてグラフをかく。
\( y=\sqrt{\,2x+6\,} \) と \( y=x-1 \)
② 不等号の向きに注意し、グラフの大小関係より、解の範囲を求める。
\( \sqrt{\,2x+6\,} \gt x-1 \) より、
無理関数が直線より上にくる \( x \) の値の範囲が
不等式の解となる。
無理式と1次式の不等式をグラフを用いて解く方法は、
① 無理関数と直線の式に分けて、交点を求めてグラフをかく。
\( y=\sqrt{\,2x+6\,} \) と \( y=x-1 \)
② 不等号の向きに注意し、グラフの大小関係より、解の範囲を求める。
\( \sqrt{\,2x+6\,} \gt x-1 \) より、
無理関数が直線より上にくる \( x \) の値の範囲が
不等式の解となる。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜無理関数のグラフと不等式の解
関数 10不等式 \( \sqrt{\,2x+6\,}\gt x-1 \) のグラフを用いた解の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
\(\sqrt{\,2x+6\,}\gt x-1~ ~\cdots~\)( i )
無理関数 \( y=\sqrt{\,2x+6\,} \) と
直線 \( y=x-1 \) のグラフを考える
無理関数と直線を連立すると、
\(\sqrt{\,2x+6\,}=x-1~ ~\cdots~\)( ii )
両辺2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2x+6\,}&=&x-1
\\[3pt]~~~2x+6&=&(x-1)^2
\\[3pt]~~~2x+6&=&x^2-2x+1
\\[3pt]~~~2x+6-x^2+2x-1&=&0
\\[3pt]~~~-x^2+4x+5&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x-5&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-5)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~5\end{eqnarray}\)
\( x=-1 \) のときは( ii )を満たさない
\( x=5 \) のとき、( ii )を満たし \( y=4 \) となる
よって、交点は \( (5~,~4) \) となる
これより、グラフは、
ここで、
\( x=-3 \) のとき、
無理関数のグラフ \( \gt \) 直線 より、
( i )が成立するので、\( x=-3 \) を含む
\( x=5 \) のとき、
無理関数のグラフ \( = \) 直線 より、
( i )が成立しないので、\( x=5 \) は含まない
したがって、不等式の解は、
\( -3 {\small ~≦~} x \lt 5 \) となる
