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問題｜無理関数と直線の共有点
関数 09無理関数 \(y=\sqrt{\,2x+6\,}\) と直線 \(y=x-1\) との共有点の座標の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
無理関数と直線の共有点
Point：無理関数と直線の共有点
① 無理関数と直線の式を連立し、\(x\) の値を求める。
\(\sqrt{\,2x+6\,}=x-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を \(2\) 乗して、
\(2x+6=(x-1)^2\)
これを解いて、\(x=-1~,~5\)
② 求めた \(x\) の値が \({\small [\,1\,]}\) を満たすかを確認し、\(y\) 座標を求める。
\(x=-1\) のとき \({\small [\,1\,]}\) を満たさない
\(x=5\) のとき \({\small [\,1\,]}\) を満たして、\(y=4\)
よって、共有点は \((5~,~4)\) となる
無理関数と直線の共有点の座標の求め方は、
① 無理関数と直線の式を連立し、\(x\) の値を求める。
\(\sqrt{\,2x+6\,}=x-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を \(2\) 乗して、
\(2x+6=(x-1)^2\)
これを解いて、\(x=-1~,~5\)
② 求めた \(x\) の値が \({\small [\,1\,]}\) を満たすかを確認し、\(y\) 座標を求める。
\(x=-1\) のとき \({\small [\,1\,]}\) を満たさない
\(x=5\) のとき \({\small [\,1\,]}\) を満たして、\(y=4\)
よって、共有点は \((5~,~4)\) となる
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詳しい解説｜無理関数と直線の共有点
関数 09無理関数 \(y=\sqrt{\,2x+6\,}\) と直線 \(y=x-1\) との共有点の座標の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
無理関数 \(y=\sqrt{\,2x+6\,}\) と直線 \(y=x-1\) を連立すると、
\(\sqrt{\,2x+6\,}=x-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\sqrt{\,2x+6\,}\right)^2&=&(x-1)^2
\\[3pt]~~~2x+6&=&x^2-2x+1
\\[3pt]~~~2x+6-x^2+2x-1&=&0
\\[3pt]~~~-x^2+4x+5&=&0
\\[3pt]~~~x^2-4x-5&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-5)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~5\end{eqnarray}\)
ここで、\(x=-1\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,2 \cdot (-1)+6\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) の右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-1-1
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) を満たさない
また、\(x=5\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,2 \cdot 5+6\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) の右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&5-1
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) を満たし、\(y=4\) となる
したがって、共有点の座標は \((5~,~4)\) となる
【参考】無理関数と直線のグラフは、
これより、\(x=-1\) に対応する共有点は存在しないことがわかる
