- 数学Ⅲ｜関数「2次関数と無理関数の逆関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次関数と無理関数の逆関数
関数 142次関数 \(y=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\) や \(y=x^2~~(\,x{\small ~≦~}0\,)\) の逆関数の求め方は？また、無理関数 \(y=\sqrt{\,-x\,}\) の逆関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
2次関数の逆関数
Point：2次関数の逆関数
① 2次関数の値域を求める。
\(y=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\) より、\(y{\small ~≧~}0\)
② 2次関数を、\(x\) の正負に注意して \(x\) について解く。
\(x^2=y\) と \(x{\small ~≧~}0\) より、\(x=\sqrt{\,y\,}\)
③ \(x\) と \(y\) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\(y=\sqrt{\,x\,}~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
2次関数の逆関数の求め方は、
① 2次関数の値域を求める。
\(y=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\) より、\(y{\small ~≧~}0\)
② 2次関数を、\(x\) の正負に注意して \(x\) について解く。
\(x^2=y\) と \(x{\small ~≧~}0\) より、\(x=\sqrt{\,y\,}\)
③ \(x\) と \(y\) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\(y=\sqrt{\,x\,}~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
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無理関数の逆関数
Point：無理関数の逆関数
① 無理関数の値域を求める。
\(y=\sqrt{\,-x\,}\) より、\(y{\small ~≧~}0\)
② 両辺を2乗して、\(x\) について解く。
\(y^2=-x\) より、\(x=-y^2\)
③ \(x\) と \(y\) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\(y=-x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
※ 定義域 \(x{\small ~≧~}0\) を付けないと放物線全体を表すことになるので、必ず定義域を付ける。
無理関数の逆関数の求め方は、
① 無理関数の値域を求める。
\(y=\sqrt{\,-x\,}\) より、\(y{\small ~≧~}0\)
② 両辺を2乗して、\(x\) について解く。
\(y^2=-x\) より、\(x=-y^2\)
③ \(x\) と \(y\) を入れ替えて逆関数を求める。また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となる。
\(y=-x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
※ 定義域 \(x{\small ~≧~}0\) を付けないと放物線全体を表すことになるので、必ず定義域を付ける。
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詳しい解説｜2次関数と無理関数の逆関数
関数 142次関数 \(y=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\) や \(y=x^2~~(\,x{\small ~≦~}0\,)\) の逆関数の求め方は？また、無理関数 \(y=\sqrt{\,-x\,}\) の逆関数の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
2次関数 \(y=x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\) より、
値域は \(y{\small ~≧~}0\)
2次関数を \(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2
\\[3pt]~~~x^2&=&y\end{eqnarray}\)
\(x{\small ~≧~}0\) より、
\(x=\sqrt{\,y\,}\)
\(x\) と \(y\) を入れ替えると、
\(y=\sqrt{\,x\,}\)
また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となるので、\(x{\small ~≧~}0\)
したがって、逆関数は \(y=\sqrt{\,x\,}~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
2次関数 \(y=x^2~~(\,x{\small ~≦~}0\,)\) より、
値域は \(y{\small ~≧~}0\)
2次関数を \(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2
\\[3pt]~~~x^2&=&y\end{eqnarray}\)
\(x{\small ~≦~}0\) より、
\(x=-\sqrt{\,y\,}\)
\(x\) と \(y\) を入れ替えると、
\(y=-\sqrt{\,x\,}\)
また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となるので、\(x{\small ~≧~}0\)
したがって、逆関数は \(y=-\sqrt{\,x\,}~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
無理関数 \(y=\sqrt{\,-x\,}\) より、
定義域は \(x{\small ~≦~}0\)、値域は \(y{\small ~≧~}0\)
両辺を2乗して、\(x\) について解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sqrt{\,-x\,}
\\[3pt]~~~y^2&=&-x
\\[3pt]~~~x&=&-y^2\end{eqnarray}\)
\(x\) と \(y\) を入れ替えると、
\(y=-x^2\)
また、もとの関数の値域が逆関数の定義域となるので、\(x{\small ~≧~}0\)
したがって、逆関数は \(y=-x^2~~(\,x{\small ~≧~}0\,)\)
