このページは、東京書籍：Advanced数学Ⅲ[701]
２章 微分
２章 微分
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Advanced数学Ⅲ １章 関数と極限
Advanced数学Ⅲ ２章 微分
Advanced数学Ⅲ ３章 微分の応用
Advanced数学Ⅲ ４章 積分とその応用
目次
２章 微分
１節 微分法
p.67 問2\(x=2\) での微分可能について、
\(x=2\) における平均変化率を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,(2+h)\{(2+h)-2\}\,|-|\,2(2-2)\,|\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,(2+h)h\,|-0\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h(h+2)\,|\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(h\) は \(0\) に近い値なので \(h+2\gt 0\) として、\(h\) の符号で場合分けすると、
\(h\gt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=h(h+2)\)
\(-2\lt h\lt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=-h(h+2)\)
これより、右側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}(h+2)
\\[5pt]~~~&=&0+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、左側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,-h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\{-(h+2)\}
\\[5pt]~~~&=&-(0+2)
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、右側極限と左側極限が一致しないので、微分係数 \(f^{\prime}(2)\) は存在しない
したがって、\(f(x)=|\,x(x-2)\,|\) は \(x=2\) で微分可能でない
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(x=2\) における平均変化率を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,(2+h)\{(2+h)-2\}\,|-|\,2(2-2)\,|\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,(2+h)h\,|-0\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,|\,h(h+2)\,|\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(h\) は \(0\) に近い値なので \(h+2\gt 0\) として、\(h\) の符号で場合分けすると、
\(h\gt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=h(h+2)\)
\(-2\lt h\lt 0\) のとき、\(|\,h(h+2)\,|=-h(h+2)\)
これより、右側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}\displaystyle \frac{\,h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to +0}(h+2)
\\[5pt]~~~&=&0+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、左側極限を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\displaystyle \frac{\,-h(h+2)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to -0}\{-(h+2)\}
\\[5pt]~~~&=&-(0+2)
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、右側極限と左側極限が一致しないので、微分係数 \(f^{\prime}(2)\) は存在しない
したがって、\(f(x)=|\,x(x-2)\,|\) は \(x=2\) で微分可能でない
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.68 問3\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \displaystyle \frac{\,3\,}{\,x+h\,} -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,x(x+h)\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,x+h+2-(x+2)\,}{\,h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x+2}\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \displaystyle \frac{\,3\,}{\,x+h\,} -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,x(x+h)\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,x+h+2-(x+2)\,}{\,h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x+2}\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
p.69 問4\({\small (1)}~y^{\prime}=5x^4\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=6x^5\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=12x^{11}\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=6x^5\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=12x^{11}\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.70 問5[証明] \({\small [\,1\,]}~\)\(\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\) について
\(f(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
よって、導関数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)\}^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,kf(x+h)-kf(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,k\{f(x+h)-f(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&k\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&kf^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\) が成り立つ
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\(f(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\end{eqnarray}\)
よって、導関数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)\}^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,kf(x+h)-kf(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,k\{f(x+h)-f(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&k\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&kf^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)\) が成り立つ
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.70 問6[証明] 導関数の定義より、
ここで、\(f(x)~,~g(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}&=&f^{\prime}(x)
\\[5pt]~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}&=&g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}&=&kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\) が成り立つ [終]
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\{kf(x+h)+lg(x+h)\}-\{kf(x)+lg(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,k\{f(x+h)-f(x)\}+l\{g(x+h)-g(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,k \cdot \displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+l \cdot \displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,k\{f(x+h)-f(x)\}+l\{g(x+h)-g(x)\}\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\left\{\,k \cdot \displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}+l \cdot \displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}\,\right\}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(f(x)~,~g(x)\) は微分可能であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}&=&f^{\prime}(x)
\\[5pt]~~~\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,g(x+h)-g(x)\,}{\,h\,}&=&g^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}&=&kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\end{eqnarray}\)
したがって、\(\{kf(x)+lg(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x)+lg^{\prime}(x)\) が成り立つ [終]
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.70 問7\({\small (1)}~y^{\prime}=5x^4+20x^3-21x^2\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=6x^5-6x^2\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=6x^5-6x^2\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.71 問8\({\small (1)}~y^{\prime}=9x^2+2x-12\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=30x^2-2x-11\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=4x^3-6x^2+10x-6\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-7x^6-4x^3+3x^2\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=30x^2-2x-11\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=4x^3-6x^2+10x-6\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-7x^6-4x^3+3x^2\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
p.73 問9\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,(4x-1)^2\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1-x^2\,}{\,(1+x^2)^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,-6x^2+30x+2\,}{\,(3x^2+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1-x^2\,}{\,(1+x^2)^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,-6x^2+30x+2\,}{\,(3x^2+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
p.73 問10\({\small (1)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2x^4\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2x-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x^3\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは整数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2x-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x^3\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは整数)の導関数
p.74 問11\({\small (1)}~y^{\prime}=6x(x^2-2)^2\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=42x^2(2x^3+5)^6\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=42x^2(2x^3+5)^6\)
解法のPoint｜合成関数の微分
p.75 問12\({\small (1)}~y^{\prime}=-20(1-4x)^4\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=18(5x^3+3x-1)^5(5x^2+1)\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,4x\,}{\,(x^2-3)^3\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=18(5x^3+3x-1)^5(5x^2+1)\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,4x\,}{\,(x^2-3)^3\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
p.75 問13\({\small (1)}~\)[証明] \(u=ax+b\) とすると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}=f^{\prime}(u)~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=a\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}\cdot \displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=af^{\prime}(u)\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}f(ax+b)=af^{\prime}(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(u=f(x)\) とすると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}=nu^{n-1}~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=u^{\prime}\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}\cdot\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=nu^{n-1}\cdot u^{\prime}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ f(x) \}^n=n\{ f(x) \}^{n-1}\cdot f^{\prime}(x)\) [終]
解法のPoint｜合成関数の微分
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}=f^{\prime}(u)~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=a\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,df(u)\,}{\,du\,}\cdot \displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=af^{\prime}(u)\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}f(ax+b)=af^{\prime}(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(u=f(x)\) とすると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}=nu^{n-1}~,~\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=u^{\prime}\)
これより、
\(~~~\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,du^n\,}{\,du\,}\cdot\displaystyle \frac{\,du\,}{\,dx\,}=nu^{n-1}\cdot u^{\prime}\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ f(x) \}^n=n\{ f(x) \}^{n-1}\cdot f^{\prime}(x)\) [終]
解法のPoint｜合成関数の微分
p.76 問14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\sqrt[3]{x^2}\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{-\frac{\,3\,}{\,4\,}}\)
解法のPoint｜逆関数の微分法
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^{-\frac{\,3\,}{\,4\,}}\)
解法のPoint｜逆関数の微分法
p.76 問15\(~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}x^{\frac{\,1\,}{\,n\,}-1}\)
解法のPoint｜逆関数の微分法
解法のPoint｜逆関数の微分法
p.77 問16\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2x^2\sqrt{x}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2x^2\sqrt{x}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
p.77 問17\({\small (1)}~y^{\prime}=3\sqrt{2x-3}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2(x-1)\,}{\,3\sqrt[3]{(x^2-2x+5)^2}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2(x-1)\,}{\,3\sqrt[3]{(x^2-2x+5)^2}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
問題
p.78 問題 2\({\small (1)}~f^{\prime}(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-2)^2\,}\)
\({\small (2)}~f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,x^2+1\,}\,}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
\({\small (2)}~f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,x^2+1\,}\,}\)
解法のPoint｜定義に従った導関数
p.78 問題 3\({\small (1)}~y^{\prime}=5x^4+9x^2-14x\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-12x^5+30x^4-32x^3+10x-15\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\({\small (3)}~y^{\prime}=2x+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,(x-4)^2\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x^2-2x-2\,}{\,(x^2+x+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-12x^5+30x^4-32x^3+10x-15\)
解法のPoint｜導関数の性質と積の導関数
\({\small (3)}~y^{\prime}=2x+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,(x-4)^2\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x^2-2x-2\,}{\,(x^2+x+1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
p.78 問題 4\({\small (1)}~y^{\prime}=3(2x^2+5x-6)^2(4x+5)\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3x-2\,}{\,2\sqrt{\,x-1\,}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3x^2-4x-3\,}{\,2x\sqrt{\,x\,}\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,\sqrt{\,(x^2-2x)^3\,}\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (5)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-10)\,}{\,(x-4)^2\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2-1\,}-x\,}{\,\sqrt{\,x^2-1\,}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3x-2\,}{\,2\sqrt{\,x-1\,}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3x^2-4x-3\,}{\,2x\sqrt{\,x\,}\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,\sqrt{\,(x^2-2x)^3\,}\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (5)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-10)\,}{\,(x-4)^2\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,x^2-1\,}-x\,}{\,\sqrt{\,x^2-1\,}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
p.78 問題 5[証明] 左辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\sqrt{f(x)}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ f(x) \}^{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{ f(x) \}^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}}\cdot f^{\prime}(x)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)\,}{\,2\sqrt{f(x)}\,}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜合成関数の微分
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\sqrt{f(x)}&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ f(x) \}^{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{ f(x) \}^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}}\cdot f^{\prime}(x)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,f^{\prime}(x)\,}{\,2\sqrt{f(x)}\,}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜合成関数の微分
p.78 問題 6\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~(uvw)^{\prime}&=&\{(uv)\cdot w\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&(uv)^{\prime}w+(uv)w^{\prime}\\[3pt]~~~&=&(u^{\prime}v+uv^{\prime})w+(uv)w^{\prime}\\[3pt]~~~&=&u^{\prime}vw+uv^{\prime}w+uvw^{\prime}\end{eqnarray}\)
[終]
\({\small (2)}~y^{\prime}=(x+1)(x-1)(x-2)(5x+2)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~(uvw)^{\prime}&=&\{(uv)\cdot w\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&(uv)^{\prime}w+(uv)w^{\prime}\\[3pt]~~~&=&(u^{\prime}v+uv^{\prime})w+(uv)w^{\prime}\\[3pt]~~~&=&u^{\prime}vw+uv^{\prime}w+uvw^{\prime}\end{eqnarray}\)
[終]
\({\small (2)}~y^{\prime}=(x+1)(x-1)(x-2)(5x+2)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
２節 いろいろな関数の導関数
p.80 問1[証明] 左辺より、
\(\begin{split}&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}\right)^{\prime}
\\[3pt]~~=~&\left(\displaystyle \frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin{x}\,}\right)^{\prime}
\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,(-\sin{x})\sin{x}-\cos{x}(\cos{x})\,}{\,\sin^2{x}\,}
\\[3pt]~~=~&-\displaystyle \frac{\,\sin^2{x}+\cos^2{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}
\\[3pt]~~=~&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2{x}\,}
\end{split}\)
[終]
解法のPoint｜三角関数の微分
\(\begin{split}&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}\right)^{\prime}
\\[3pt]~~=~&\left(\displaystyle \frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin{x}\,}\right)^{\prime}
\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,(-\sin{x})\sin{x}-\cos{x}(\cos{x})\,}{\,\sin^2{x}\,}
\\[3pt]~~=~&-\displaystyle \frac{\,\sin^2{x}+\cos^2{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}
\\[3pt]~~=~&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2{x}\,}
\end{split}\)
[終]
解法のPoint｜三角関数の微分
p.80 問2\({\small (1)}~y^{\prime}=-5\sin{5x}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos^2{\left(2x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-x\sin{x}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=2\cos{2x}\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sin{x}-x\cos{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos^2{\left(2x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-x\sin{x}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=2\cos{2x}\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sin{x}-x\cos{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
p.82 問3\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3(\log_{}x)^2\,}{\,x\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\log_{}4x+1\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\log_{}3\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3(\log_{}x)^2\,}{\,x\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\log_{}4x+1\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\log_{}3\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
p.83 問4\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,x^2-3\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)\log_{}4\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)\log_{}4\,}\)
解法のPoint｜対数関数の微分
p.84 問5\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x(2x^2-7x+4)\,}{\,(x-2)^2\,}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3x+10\,}{\,3\sqrt[3]{x(x+5)^2}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,3x+10\,}{\,3\sqrt[3]{x(x+5)^2}\,}\)
解法のPoint｜対数微分法
p.84 問6\({\small (1)}~y^{\prime}=\sqrt{2}\cdot 5^{\sqrt{2}}x^{\sqrt{2}-1}\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=x^{a-1}(a\log_{}x+1)\)
解法のPoint｜xⁿ(nは実数)の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=x^{a-1}(a\log_{}x+1)\)
解法のPoint｜xⁿ(nは実数)の導関数
p.85 問7\({\small (1)}~y^{\prime}=3^x\log_{}3\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\right)^x\log_{}10\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-2e^{-2x}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\right)^x\log_{}10\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-2e^{-2x}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
p.85 問8\({\small (1)}~y^{\prime}=e^{x-2}+5^x\log_{}5\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x-x^2\,}{\,e^x\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=2xe^{x^2}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2x-x^2\,}{\,e^x\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=2(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=2xe^{x^2}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
p.86 問9右辺を直接微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\left\{(1-x^2)^{\frac{\,1\,}{\,2\,}} \right\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1-x^2)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot(-2x)\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{1-x^2}\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\left\{-(1-x^2)^{\frac{\,1\,}{\,2\,}} \right\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1-x^2)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot(-2x)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{1-x^2}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,-y\,}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\left\{(1-x^2)^{\frac{\,1\,}{\,2\,}} \right\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1-x^2)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot(-2x)\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{1-x^2}\,}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\left\{-(1-x^2)^{\frac{\,1\,}{\,2\,}} \right\}^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1-x^2)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot(-2x)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{1-x^2}\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,-y\,}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
p.86 問10[証明] 両辺を \(x\) について微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2y\cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&8\\[3pt]~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
\(\begin{eqnarray}~~~2y\cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&8\\[3pt]~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
p.87 問11\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,4y\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,4x\,}{\,9y\,}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,4x\,}{\,9y\,}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
p.88 問12\({\small (1)}~x+2y-7=0\)
\({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}y^2-1\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
\({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}y^2-1\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
p.89 問13\(\begin{eqnarray} ~~ \left\{\begin{array}{l}
x=5\cos{\theta} \\ y=5\sin{\theta}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
x=5\cos{\theta} \\ y=5\sin{\theta}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
p.89 問14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=2t\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,\cos{t}\,}{\,\sin{t}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{t}\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,\cos{t}\,}{\,\sin{t}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{t}\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
p.91 問15\({\small (1)}~y^{\prime}=4x^3~,~y^{\prime\prime}=12x^2~,~y^{\prime\prime\prime}=24x\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=3e^{3x}~,~y^{\prime\prime}=9e^{3x}~,~y^{\prime\prime\prime}=27e^{3x}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~y^{\prime\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y^{\prime\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=a\cos{ax}~,~y^{\prime\prime}=-a^2\sin{ax}\)
\(\hspace{13pt}~y^{\prime\prime\prime}=-a^3\cos{ax}\)
解法のPoint｜第2次導関数と第3次導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=3e^{3x}~,~y^{\prime\prime}=9e^{3x}~,~y^{\prime\prime\prime}=27e^{3x}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~y^{\prime\prime}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y^{\prime\prime\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x^3\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=a\cos{ax}~,~y^{\prime\prime}=-a^2\sin{ax}\)
\(\hspace{13pt}~y^{\prime\prime\prime}=-a^3\cos{ax}\)
解法のPoint｜第2次導関数と第3次導関数
p.92 問16\({\small (1)}~y^{(n)}=5e^x+(-1)^{n}e^{-x}\)
\({\small (2)}~y^{(n)}=2^x(\log_{}2)^n\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
\({\small (2)}~y^{(n)}=2^x(\log_{}2)^n\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
p.92 問17\(~~~y^{\prime}=-\sin{x}~,~y^{\prime\prime}=-\cos{x}\)
\(~~~y^{\prime\prime\prime}=\sin{x}~,~y^{(4)}=\cos{x}\)
\(~~~y^{(5)}=-\sin{x}\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
\(~~~y^{\prime\prime\prime}=\sin{x}~,~y^{(4)}=\cos{x}\)
\(~~~y^{(5)}=-\sin{x}\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
p.92 問18[証明] 関数 \(y=e^{-x}\sin x\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-x})^{\prime}\sin x+e^{-x}(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}(\sin x-\cos x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-e^{-x}(\sin x-\cos x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=e^{-x}\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(e^{-x})^{\prime}\sin x+e^{-x}(\sin x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x
\\[3pt]~~~&=&-e^{-x}(\sin x-\cos x)\end{eqnarray}\)
次に、\(y^{\prime}=-e^{-x}(\sin x-\cos x)\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&(-e^{-x})^{\prime}(\sin x-\cos x)+(-e^{-x})(\sin x-\cos x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x)-e^{-x}(\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}\left\{\,(\sin x-\cos x)-(\cos x+\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x-\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x)-e^{-x}(\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}\left\{\,(\sin x-\cos x)-(\cos x+\sin x)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&e^{-x}(\sin x-\cos x-\cos x-\sin x)
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x-2e^{-x}(\sin x-\cos x)+2e^{-x}\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}(-\cos x-\sin x+\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos x-2e^{-x}(\sin x-\cos x)+2e^{-x}\sin x
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x}(-\cos x-\sin x+\cos x+\sin x)
\\[3pt]~~~&=&2e^{-x} \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=e^{-x}\sin x\) は等式 \(y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0\) を満たす [終]
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問題
p.93 問題 8[証明]
\(~~~(\cos{x})^{\prime}=\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{(x+h)}-\cos{x}\,}{\,h\,}\)
\(\cos{(x+h)}\) は加法定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\cos{x}-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\sin{x}\right\}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(~~~\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}=1\)
また、
\(\begin{split}&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos^2{h}-1\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,-\sin^2{h}\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\left(-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\cdot \displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,\cos{h}+1\,}\right)\\[3pt]~~=~&-1\cdot\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+1\,}=0\end{split}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~(\cos{x})^{\prime}&=&0\cdot \cos{x}-1 \sin{x}\\[2pt]~~~&=&-\sin{x}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜三角関数の微分
\(~~~(\cos{x})^{\prime}=\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{(x+h)}-\cos{x}\,}{\,h\,}\)
\(\cos{(x+h)}\) は加法定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h \to 0}\left\{\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\cos{x}-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\sin{x}\right\}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(~~~\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}=1\)
また、
\(\begin{split}&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,\cos^2{h}-1\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,-\sin^2{h}\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\left(-\displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\cdot \displaystyle \frac{\,\sin{h}\,}{\,\cos{h}+1\,}\right)\\[3pt]~~=~&-1\cdot\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1+1\,}=0\end{split}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~(\cos{x})^{\prime}&=&0\cdot \cos{x}-1 \sin{x}\\[2pt]~~~&=&-\sin{x}\end{eqnarray}\)
[終]
解法のPoint｜三角関数の微分
p.93 問題 9\({\small (1)}~y^{\prime}=-2\sin x\cos x\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(\sin x+\cos x)^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sin^2 (3x-\pi)\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,2\sqrt{\,1+\cos x\,}\,}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sin^2 x-\cos^2 x\,}{\,\sin^2 x\cos^2 x\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\sin \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(\sin x+\cos x)^2\,}\)
\({\small (3)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sin^2 (3x-\pi)\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,2\sqrt{\,1+\cos x\,}\,}\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sin^2 x-\cos^2 x\,}{\,\sin^2 x\cos^2 x\,}\)
\({\small (6)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}\sin \displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
p.93 問題 10\({\small (1)}~y^{\prime}=-6\sin 2x\cos^2 2x\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,4\cos 4x\,}{\,(1+\sin 4x)^2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=-\displaystyle \frac{\,4\cos 4x\,}{\,(1+\sin 4x)^2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
p.93 問題 11\({\small (1)}~y^{\prime}=x^2 3^{-x}(3-x\log 3)\)
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,e^{\sqrt{x}}\,}{\,2\sqrt{\,x\,}\,}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,x^2+3\,}\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=e^x\left(\log x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\)
解法のPoint｜対数関数の微分
\({\small (2)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,e^{\sqrt{x}}\,}{\,2\sqrt{\,x\,}\,}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,x^2+3\,}\,}\)
\({\small (4)}~y^{\prime}=e^x\left(\log x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\)
解法のPoint｜対数関数の微分
p.93 問題 13[証明] 関数 \(uv\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(uv)^{\prime}&=&u^{\prime}v+uv^{\prime}\end{eqnarray}\)
次に、\((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
したがって、等式 \((uv)^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(uv)^{\prime}&=&u^{\prime}v+uv^{\prime}\end{eqnarray}\)
次に、\((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) をさらに微分すると、
同様に、積の導関数の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~(uv)^{\prime\prime}&=&(u^{\prime}v)^{\prime}+(uv^{\prime})^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&(u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime})+(u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime})
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime}+u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime})+(u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime})
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+u^{\prime}v^{\prime}+u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}
\\[3pt]~~~&=&u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、等式 \((uv)^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}v+2u^{\prime}v^{\prime}+uv^{\prime\prime}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.93 問題 14\({\small (1)}~y^{(n)}=\displaystyle \frac{\,(-1)^n \cdot n!\,}{\,(x+1)^{n+1}\,}\)
\({\small (2)}~y^{(n)}=a^n e^{ax+b}\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
\({\small (2)}~y^{(n)}=a^n e^{ax+b}\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
練習問題 微分法
p.96 練習問題A 1\({\small (1)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x^2-2x-2\,}{\,(x-1)^2\,}\)
解法のPoint｜商の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-2x+\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(\sin x+\cos x)^2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (4)}~y^{\prime}=-e^{-\sin x}\cos x\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)e^{\large \frac{1}{x}}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (6)}~y^{\prime}=-\tan x\)
解法のPoint｜対数関数の微分
解法のPoint｜商の導関数
\({\small (2)}~y^{\prime}=-2x+\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\)
解法のPoint｜xⁿ(nは有理数)の導関数
\({\small (3)}~y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,(\sin x+\cos x)^2\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
\({\small (4)}~y^{\prime}=-e^{-\sin x}\cos x\)
\({\small (5)}~y^{\prime}=\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)e^{\large \frac{1}{x}}\)
解法のPoint｜指数関数の微分
\({\small (6)}~y^{\prime}=-\tan x\)
解法のPoint｜対数関数の微分
p.96 練習問題A 3\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\sqrt[3]{\,\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\,}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\sqrt[3]{\,\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\,}\)
解法のPoint｜x,yの方程式の導関数
p.96 練習問題A 4[証明]
方程式 \(xy-2x+y=0\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(xy\) は積の導関数の公式を使い、\(y\) を微分すると \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}(xy)-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}(2x)+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}0
\\[5pt]~~~1 \cdot y+x \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}-2+\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~x \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}+\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-y+2
\\[5pt]~~~(x+1) \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-(y-2)\end{eqnarray}\)
\(x \neq -1\) のとき、両辺を \(x+1\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x \neq -1\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\) となる
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
方程式 \(xy-2x+y=0\) について、
両辺を \(x\) で微分すると、
\(xy\) は積の導関数の公式を使い、\(y\) を微分すると \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}(xy)-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}(2x)+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}y&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}0
\\[5pt]~~~1 \cdot y+x \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}-2+\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[5pt]~~~x \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}+\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-y+2
\\[5pt]~~~(x+1) \cdot \displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-(y-2)\end{eqnarray}\)
\(x \neq -1\) のとき、両辺を \(x+1\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x \neq -1\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\) となる
[終]
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p.96 練習問題A 5\({\small (1)}~y^{(n)}=\displaystyle \frac{\,(n-1)!\,}{\,(5-x)^n\,}\)
\({\small (2)}~\)\(m\) を自然数として、
\(n=4m-3\) のとき \(y^{(n)}=\cos x-\sin x\)
\(n=4m-2\) のとき \(y^{(n)}=-\sin x-\cos x\)
\(n=4m-1\) のとき \(y^{(n)}=-\cos x+\sin x\)
\(n=4m\) のとき \(y^{(n)}=\sin x+\cos x\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
\({\small (2)}~\)\(m\) を自然数として、
\(n=4m-3\) のとき \(y^{(n)}=\cos x-\sin x\)
\(n=4m-2\) のとき \(y^{(n)}=-\sin x-\cos x\)
\(n=4m-1\) のとき \(y^{(n)}=-\cos x+\sin x\)
\(n=4m\) のとき \(y^{(n)}=\sin x+\cos x\)
解法のPoint｜第n次導関数と規則性
p.96 練習問題A 6[証明] 関数 \(y=x\sqrt{\,1+x^2\,}\) を微分すると、
積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となり、
\(\sqrt{\,1+x^2\,}=(1+x^2)^{\large \frac{1}{2}}\) として、合成関数の導関数の公式を用いるので、
次に、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) をさらに微分すると、
商の導関数の公式より、
\(y^{\prime}\) の計算と同様に、\((\sqrt{\,1+x^2\,})^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) となるので、
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
したがって、関数 \(y=x\sqrt{\,1+x^2\,}\) は等式 \((1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=4y\) を満たす [終]
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積の導関数の公式より、「微分そのまま+そのまま微分」となり、
\(\sqrt{\,1+x^2\,}=(1+x^2)^{\large \frac{1}{2}}\) として、合成関数の導関数の公式を用いるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&(x)^{\prime}\sqrt{\,1+x^2\,}+x\left\{\,(1+x^2)^{\large \frac{1}{2}}\,\right\}^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot (1+x^2)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot 2x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x^2(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+x^2)+x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot (1+x^2)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}} \cdot 2x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+x^2(1+x^2)^{-\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+x^2\,}+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1+x^2)+x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) をさらに微分すると、
商の導関数の公式より、
\(y^{\prime}\) の計算と同様に、\((\sqrt{\,1+x^2\,})^{\prime}=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime\prime}&=&\displaystyle \frac{\,(1+2x^2)^{\prime}\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2)(\sqrt{\,1+x^2\,})^{\prime}\,}{\,(\sqrt{\,1+x^2\,})^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,}{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left\{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,\right\} \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)-x(1+2x^2)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x+4x^3-x-2x^3\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x^3+3x\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,}{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left\{\,4x\sqrt{\,1+x^2\,}-(1+2x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\,\right\} \cdot \sqrt{\,1+x^2\,}\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)-x(1+2x^2)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x+4x^3-x-2x^3\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2x^3+3x\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(y~,~y^{\prime}~,~y^{\prime\prime}\) を等式の左辺に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&(1+x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,x(1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3+1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(4x^2+4)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(\sqrt{\,1+x^2\,})^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4x\sqrt{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&4y\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&(1+x^2) \cdot \displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,(1+x^2)\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+x \cdot \displaystyle \frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,x(1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(2x^2+3+1+2x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x(4x^2+4)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(1+x^2)\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4x(\sqrt{\,1+x^2\,})^2\,}{\,\sqrt{\,1+x^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4x\sqrt{\,1+x^2\,}
\\[5pt]~~~&=&4y\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、関数 \(y=x\sqrt{\,1+x^2\,}\) は等式 \((1+x^2)y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=4y\) を満たす [終]
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p.97 練習問題B 7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,e\,}\)
\({\small (2)}~e^2\)
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\({\small (2)}~e^2\)
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p.97 練習問題B 8\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,8\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,8\,}\)
解法のPoint｜合成関数の微分
p.97 練習問題B 9\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\,}{\,(x-1)^2\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2^{n+1}-n-2\,}{\,2^{n-1}\,}\)
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\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2^{n+1}-n-2\,}{\,2^{n-1}\,}\)
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p.97 練習問題B 10 \(\displaystyle \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+x^2\,}\)
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p.97 練習問題B 11 \(a=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}~,~b=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜三角関数の微分
解法のPoint｜指数関数の微分
解法のPoint｜三角関数の微分
解法のPoint｜指数関数の微分
p.97 練習問題B 12\({\small (1)}~-\tan \theta\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,t(t^3-2)\,}{\,2t^3-1\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,t(t^3-2)\,}{\,2t^3-1\,}\)
解法のPoint｜媒介変数表示された関数の導関数
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