【新課程】東京書籍：Advanced数学Ⅲ[701]

p.141 問1\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~-\frac{\,1\,}{\,2x^2\,}+C$$$${\small (2)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}x\sqrt{x}+C$$$${\small (3)}~\frac{\,3\,}{\,5\,}x^{\frac{\,5\,}{\,3\,}}+C$$$${\small (4)}~\frac{\,4\,}{\,3\,}\sqrt[\large 4]{t^3}+C$$

p.142 問2\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~2\log_{}|x|-\frac{\,1\,}{\,x\,}+C$$$${\small (2)}~2\sqrt{x}(x-4)+C$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x-\frac{\,1\,}{\,x\,}+C$$$${\small (4)}~\frac{\,1\,}{\,3\,}u^3-\frac{\,3\,}{\,2\,}u^2+3u-\log_{}|u|+C$$

p.143 問3\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~-3\cos{x}-4\sin{x}+C$$$${\small (2)}~\sin{x}-4\tan{x}+C$$$${\small (3)}~-\frac{\,3\,}{\,\tan{x}\,}-\cos{x}+C$$$${\small (4)}~-\frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}-x+C$$

p.143 問4\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~5e^x+3x+C$$$${\small (2)}~\frac{\,10^x\,}{\,\log_{}10\,}-\frac{\,2^x\,}{\,\log_{}2\,}+C$$

p.144 問5\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,15\,}(3x+2)^5+C$$$${\small (2)}~-\frac{\,3\,}{\,4\,}(2-x)\sqrt[\large 3]{2-x}+C$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{}|2x-1|+C$$$${\small (4)}~\frac{\,1\,}{\,4\,}e^{4x+1}+C$$$${\small (5)}~-\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos{\left( 2\theta-\frac{\,\pi\,}{\,3\,} \right)}+C$$

p.145 問6\(2x-1=t\) とおくと、$$~~~\frac{\,dt\,}{\,dx\,}=2~\Leftrightarrow~dx=\frac{\,1\,}{\,2\,}dt$$これより、$$\begin{split}&\int x\sqrt{2x-1} \,dx\\[3pt]~~=~&\int \frac{\,t+1\,}{\,2\,}\sqrt{t}\,\frac{\,1\,}{\,2\,}dt\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,4\,}\int (t^{\frac{\,3\,}{\,2\,}}+t^{\frac{\,1\,}{\,2\,}}) \,dt\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,30\,}(3t+5)t^{\frac{\,3\,}{\,2\,}}+C\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,30\,}(3x+1)(2x-1)\sqrt{2x-1}+C\end{split}$$

p.145 問7\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,15\,}(3x-2)(x+1)\sqrt{x+1}+C$$$${\small (2)}~\frac{\,2\,}{\,27\,}(3x+2)\sqrt{3x-1}+C$$$${\small (3)}~-\frac{\,2\,}{\,5\,}(x^2+4x+24)\sqrt{3-x}+C$$

p.146 問8\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}(x^3-1)\sqrt{x^3-1}+C$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,4\,}\cos^4{x}+C$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}e^{x^2}+C$$$${\small (4)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}(\log_{}x)^2+C$$

p.147 問9\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~\log_{}(x^2+4x+5)+C$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,3\,}\log_{}|x^3-1|+C$$$${\small (3)}~\log_{}|\sin{x}|+C$$$${\small (4)}~-\log_{}(e^{-x}+1)+C$$

p.148 問10\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~-x\cos{x}+\sin{}+C$$$${\small (2)}~-(x+1)e^{-x}+C$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}(x+3)\sin{2x}+\frac{\,1\,}{\,4\,}\cos{2x}+C$$

p.149 問11\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\log_{}x-\frac{\,1\,}{\,4\,}x^2+C$$$${\small (2)}~(x+1)\log_{}(x+1)-x+C$$

p.149 問12\(C\) を積分定数として、$$~~~-x^2\cos{x}+2x\sin{x}+2\cos{x}+C$$

p.153 問13\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~x-3\log_{}|x+1|+C$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-3x+7\log_{}|x+2|+C$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{}\left|\frac{\,x\,}{\,x+2\,} \right|+C$$$${\small (4)}~\log_{}\frac{\,|x-3|\,}{\,(x+2)^2\,}+C$$

p.151 問14[証明] 加法定理より、$$\begin{eqnarray}~~~\sin{(\alpha+\beta)}&=&\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\\[2pt]~~~\sin{(\alpha-\beta)}&=&\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\end{eqnarray}$$両辺をそれぞれ加えると、$$\small~~~\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}=2\sin{\alpha}\cos{\beta}$$したがって、$$\small~~~\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \}$$[終]

p.151 問15\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}x+\frac{\,1\,}{\,4\,}\sin{2x}+C$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}x-\frac{\,1\,}{\,20\,}\sin{10x}+C$$$${\small (3)}~\frac{\,1\,}{\,10\,}\sin{5x}+\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin{2x}+C$$$${\small (4)}~-\frac{\,1\,}{\,8\,}\sin{4x}+\frac{\,1\,}{\,4\,}\sin{2x}+C$$

p.152 問16\(C\) を積分定数として、$$~~~\sin{x}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\sin^3{x}+C$$

p.152 問17\(C\) を積分定数として、$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{}\frac{\,1-\cos{x}\,}{\,1+\cos{x}\,}+C$$

p.156 問1$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,\log_{}2\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,4\,}$$

p.156 問2$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}e^2-3e+\frac{\,7\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,10-8\sqrt{2}\,}{\,3\,}$$$${\small (3)}~e+\frac{\,1\,}{\,e\,}-2$$$${\small (4)}~\frac{\,\pi\,}{\,2\,}$$

p.157 問3$${\small (1)}~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,16\,}$$$${\small (2)}~-\frac{\,1\,}{\,16\,}$$

p.157 問4$${\small (1)}~4$$$${\small (2)}~2$$

p.158 問5$${\small (1)}~\frac{\,243\,}{\,5\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,20\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,15\,}{\,64\,}$$

p.158 問6$${\small (1)}~-\frac{\,4\,}{\,15\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,2\,}{\,3\,}$$

p.160 問7$${\small (1)}~2\pi$$$${\small (2)}~\frac{\,\pi\,}{\,3\,}$$

p.160 問8$${\small (1)}~\frac{\,\pi\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,5\sqrt{3}\,}{\,36\,}\pi$$

p.161 問9$${\small (1)}~-\frac{\,18\,}{\,5\,}$$$${\small (2)}~0$$

p.162 問10$${\small (1)}~-2$$$${\small (2)}~-\frac{\,3\,}{\,4e^2\,}+\frac{\,1\,}{\,4\,}$$$${\small (3)}~e^2+1$$$${\small (4)}~\frac{\,2e^3+1\,}{\,9\,}$$

p.163 問11$${\small (1)}~\sin{x}$$$${\small (2)}~\frac{\,x^3\,}{\,1+e^x\,}$$

p.163 問12$$~~~F'{}'(x)=e^{2x}$$

p.164 問13$$~~~f(x)=\cos{x}-\frac{\,2\,}{\,3\,}$$

p.167 問14$${\small (1)}~\frac{\,7\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,2\,}{\,\pi\,}$$

p.169 問15[証明] \(x≧0\) のとき、$$~~~(x+1)^2-(x^2+x+1)=x≧0$$$$~~~(x^2+x+1)-(x+1)=x^2≧0$$よって、$$~~~(x+1)^2≧x^2+x+1≧x+1$$これより、$$~~~\frac{\,1\,}{\,(x+1)^2\,}≦\frac{\,1\,}{\,x^2+x+1\,}≦\frac{\,1\,}{\,x+1\,}$$\(0< x < 1\) で等号は成り立たないので、$$\scriptsize~~~\int_{0}^{1}\frac{\,dx\,}{\,(x+1)^2\,}< \int_{0}^{1}\frac{\,dx\,}{\,x^2+x+1\,}< \int_{0}^{1}\frac{\,dx\,}{\,x+1\,}$$ここで、$$~~~\int_{0}^{1}\frac{\,dx\,}{\,(x+1)^2\,}=\left[ -\frac{\,1\,}{\,x+1\,} \right]_{0}^{1}=\frac{\,1\,}{\,2\,}$$$$~~~\int_{0}^{1}\frac{\,dx\,}{\,x+1\,}=\left[ \log_{}|x+1| \right]_{0}^{1}=\log_{}2$$したがって、$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}< \int_{0}^{1}\frac{\,dx\,}{\,x^2+x+1\,}< \log_{}2$$[終]

p.169 問16[証明] 自然数 \(k\) について、\(k≦x≦k+1\) とすると、$$~~~\frac{\,1\,}{\,k+1\,}≦\frac{\,1\,}{\,x\,}$$等号は常に成り立たないので、$$~~~\frac{\,1\,}{\,k+1\,}< \int_{k}^{k+1}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx$$これより、\(n≧2\) のとき、$$~~~\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\,1\,}{\,k+1\,}< \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx$$左辺は、$$~~~\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\,1\,}{\,k+1\,}=\frac{\,1\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,3\,}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,n\,}$$右辺は、$$\begin{split}&\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx\\[3pt]~~=~&\int_{1}^{n}\frac{\,1\,}{\,x\,}dx\\[3pt]~~=~&\left[ \log_{}x \right]_{1}^{n}=\log_{}n\end{split}$$したがって、$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,3\,}+\cdots+\frac{\,1\,}{\,n\,}< \log_{}n$$[終]

p.171 問題 12[証明] \(0≦x≦1\) より、\(0≦x^4≦x^2≦1\)
これより、\(-1≦-x^2≦-x^4≦0\)
よって、\(0≦1-x^2≦1-x^4≦1\)
したがって、$$~~~\sqrt{1-x^2}≦\sqrt{1-x^4}≦1$$
\(0< x < 1\) では等号は成り立たないので、$$\scriptsize~~~\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}\,dx< \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^4}\,dx< \int_{0}^{1}\, dx$$ここで、\(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}\,dx\) は半径 \(1\) の円を四分割した面積であるので、$$~~~\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\,\pi\,}{\,4\,}$$また、$$~~~\int_{0}^{1}\, dx=\left[ x \right]_{0}^{1}=1$$したがって、$$~~~\frac{\,\pi\,}{\,4\,}< \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^4}\,dx< 1$$[終]

p.173 問1$${\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,14\,}{\,3\,}$$

p.174 問2$${\small (1)}~\frac{\,35\,}{\,2\,}-6\log_{}6$$$${\small (2)}~\frac{\,1\,}{\,4\,}$$

p.175 問3$$~~~e^2-1$$

p.176 問4$$~~~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,6\,}\pi$$

p.176 問5$$~~~\frac{\,1\,}{\,6\,}$$

p.177 問6$${\small (1)}~\frac{\,8\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~3\pi$$

p.179 問7[証明]

この円錐の頂点から底面に垂線を下ろし、これを \(x\) 軸として、頂点を原点にとる
座標が \(x\) である点を通り、\(x\) 軸に垂直な平面で角錐を切ったときの断面積を \(S(x)\) とする
この断面は底面と相似な多角形で。相似比は \(x:h\) であるから、面積比は２乗の比となり、$$~~~S(x):\pi r^2=x^2:h^2$$これより、$$~~~S(x)=\frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}x^2$$したがって、$$\begin{eqnarray}~~~V&=&\int_{0}^{h}\frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}x^2 \,dx\\[3pt]~~~&=&\frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}\left[ \frac{\,x^3\,}{\,3\,} \right]_{0}^{h}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}\cdot\frac{\,h^3\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,3\,}\pi r^2 h\end{eqnarray}$$[終]

p.180 問8$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}\pi a^2h$$

p.181 問9$$~~~\frac{\,16\,}{\,15\,}\pi$$

p.182 問10$$~~~\frac{\,16\,}{\,3\,}\pi$$

p.183 問11$$~~~\frac{\,\pi\,}{\,5\,}$$

p.183 問12$$~~~\frac{\,e^6-1\,}{\,2\,}\pi$$

p.184 参考 問9$$~~~\frac{\,8\sqrt{2}\,}{\,15\,}\pi$$

p.186 問13$$~~~2\pi r$$

p.186 問14$$~~~\frac{\,3\,}{\,2\,} a$$

p.187 問15$$~~~\frac{\,56\,}{\,27\,}$$

p.188 問16$$~~~4$$

p.189 問17$$~~~12$$

p.197 発展 問1\(C\) を任意の定数として、$${\small (1)}~y=\frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+C$$$${\small (2)}~y=Ce^{2x}$$

p.197 発展 問2$$~~~y=5e^{3x}$$

p.199 発展 問3　\(60\) ℃