【新課程】東京書籍：Advanced数学Ⅲ[701]

p.66 問1$$~~~-\frac{\,1\,}{\,4\,}$$

p.67 問2[証明] 関数 \(f(x)=|x(x-2)|\) は \(x=2\) で連続で、$$\begin{split}&\lim_{h\to +0}\frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}\frac{\,(2+h)h\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}(2+h)\\[3pt]~~=~&2\end{split}$$$$\begin{split}&\lim_{h\to -0}\frac{\,f(2+h)-f(2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to -0}\frac{\,-(2+h)h\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to -0}(-2-h)\\[3pt]~~=~&-2\end{split}$$これより、\(f'(2)\) は存在しない
したがって、\(f(x)\) は \(x=2\) で微分可能でない [終]

p.68 問3$${\small (1)}~$$$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \frac{\,3\,}{\,x+h\,} -\frac{\,3\,}{\,x\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,-3\,}{\,x(x+h)\,}\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,3\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}$$$${\small (2)}~$$$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,x+h+2-(x+2)\,}{\,h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x+2}\,}\end{eqnarray}$$

p.69 問4$${\small (1)}~y’=5x^4$$$${\small (2)}~y’=6x^5$$$${\small (3)}~y’=12x^{11}$$

p.70 問5[証明]$$\begin{eqnarray}~~~\{ kf(x) \}’&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,kf(x+h)-kf(x)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&k\lim_{h\to 0}\frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&kf'(x)\end{eqnarray}$$[終]

p.70 問6[証明]公式２より、$$~~~\{ kf(x)+lg(x) \}’=\{ kf(x) \}’+\{lg(x) \}’$$公式１より、$$~~~\{ kf(x) \}’+\{lg(x) \}’=kf'(x)+lg'(x)$$したがって、$$~~~\{ kf(x)+lg(x) \}’=kf'(x)+lg'(x)$$[終]

p.70 問7$${\small (1)}~y’=5x^4+20x^3-21x^2$$$${\small (2)}~y’=6x^5-6x^2$$

p.71 問8$${\small (1)}~y’=9x^2+2x-12$$$${\small (2)}~y’=30x^2-2x-11$$$${\small (3)}~y’=4x^3-6x^2+10x-6$$$${\small (4)}~y’=-7x^6-4x^3+3x^2$$

p.73 問9$${\small (1)}~y’=-\frac{\,4\,}{\,(4x-1)^2\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,1-x^2\,}{\,(1+x^2)^2\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,-6x^2+30x+2\,}{\,(3x^2+1)^2\,}$$

p.73 問10$${\small (1)}~y’=-\frac{\,1\,}{\,2x^4\,}$$$${\small (2)}~y’=1-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}$$$${\small (3)}~y’=2x-\frac{\,3\,}{\,x^2\,}+\frac{\,4\,}{\,x^3\,}$$

p.74 問11$${\small (1)}~y’=6x(x^2-2)^2$$$${\small (2)}~y’=42x^2(2x^3+5)^6$$

p.75 問12$${\small (1)}~y’=-20(1-4x)^4$$$${\small (2)}~y’=18(5x^3+3x-1)^5(5x^2+1)$$$${\small (3)}~y’=-\frac{\,4x\,}{\,(x^2-3)^3\,}$$

p.75 問13\({\small (1)}~\)[証明] \(u=ax+b\) とすると、$$~~~\frac{\,df(u)\,}{\,du\,}=f'(u)~,~\frac{\,du\,}{\,dx\,}=a$$これより、$$~~~\frac{\,df(u)\,}{\,dx\,}=\frac{\,df(u)\,}{\,du\,}\cdot \frac{\,du\,}{\,dx\,}=af'(u)$$したがって、$$~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}f(ax+b)=af'(ax+b)$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(u=f(x)\) とすると、$$~~~\frac{\,du^n\,}{\,du\,}=nu^{n-1}~,~\frac{\,du\,}{\,dx\,}=u’$$これより、$$~~~\frac{\,du^n\,}{\,dx\,}=\frac{\,du^n\,}{\,du\,}\cdot\frac{\,du\,}{\,dx\,}=nu^{n-1}\cdot u’$$したがって、$$~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ f(x) \}^n=n\{ f(x) \}^{n-1}\cdot f'(x)$$[終]

p.76 問14$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,3\sqrt[\large 3]{x^2}\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,4\,}x^{-\frac{\,3\,}{\,4\,}}$$

p.76 問15$$~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,n\,}x^{\frac{\,1\,}{\,n\,}-1}$$

p.77 問16$${\small (1)}~y’=\frac{\,1\,}{\,2\,}x^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}$$$${\small (3)}~y’=-\frac{\,3\,}{\,2x^2\sqrt{x}\,}$$

p.77 問17$${\small (1)}~y’=3\sqrt{2x-3}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,2(x-1)\,}{\,3\sqrt[\large 3]{(x^2-2x+5)^2}\,}$$

p.78 問題 1[証明] 関数 \(f(x)=|x-1|(x-1)\) は \(x=1\) で連続で、$$~~~\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}=\frac{\,|h|\cdot h\,}{\,h\,}=|h|$$これより、$$\begin{split}&\lim_{h\to +0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}h=0\end{split}$$$$\begin{split}&\lim_{h\to -0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}-h=0\end{split}$$これより、\(f'(1)\) は存在する
したがって、\(f(x)\) は \(x=1\) で微分可能である [終]

p.78 問題 5[証明] 左辺より、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}\sqrt{f(x)}&=&\frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ f(x) \}^{\frac{\,1\,}{\,2\,}}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\{ f(x) \}^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}}\cdot f'(x)\\[3pt]~~~&=&\frac{\,f'(x)\,}{\,2\sqrt{f(x)}\,}\end{eqnarray}$$[終]

p.78 問題 6\({\small (1)}~\)$$\begin{eqnarray}~~~(uvw)’&=&\{(uv)\cdot w\}’\\[2pt]~~~&=&(uv)’w+(uv)w’\\[2pt]~~~&=&(u’v+uv’)w+(uv)w’\\[2pt]~~~&=&u’vw+uv’w+uvw’\end{eqnarray}$$[終]
$${\small (2)}~y’=(x+1)(x-1)(x-2)(5x+2)$$

p.80 問1[証明] 左辺より、$$\begin{split}&\left(\frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}\right)’
\\[3pt]~~=~&\left(\frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin{x}\,}\right)’
\\[3pt]~~=~&\frac{\,(-\sin{x})\sin{x}-\cos{x}(\cos{x})\,}{\,\sin^2{x}\,}
\\[3pt]~~=~&-\frac{\,\sin^2{x}+\cos^2{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}
\\[3pt]~~=~&-\frac{\,1\,}{\,\sin^2{x}\,}
\end{split}$$[終]

p.80 問2$${\small (1)}~y’=-5\sin{5x}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,2\,}{\,\cos^2{\left(2x-\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\,}$$$${\small (3)}~y’=2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$$$${\small (4)}~y’=-x\sin{x}$$$${\small (5)}~y’=2\cos{2x}\cos{x}-\sin{2x}\sin{x}$$$${\small (6)}~y’=\frac{\,\sin{x}-x\cos{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}$$

p.82 問3$${\small (1)}~y’=\frac{\,1\,}{\,x\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,3(\log_{}x)^2\,}{\,x\,}$$$${\small (3)}~y’=\log_{}4x+1$$$${\small (4)}~y’=\frac{\,1\,}{\,x\log_{}3\,}$$

p.83 問4$${\small (1)}~y’=\frac{\,2x\,}{\,x^2-3\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,1\,}{\,(x-1)\log_{}4\,}$$

p.84 問5$${\small (1)}~y’=\frac{\,x(2x^2-7x+4)\,}{\,(x-2)^2\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,3x+10\,}{\,3\sqrt[\large 3]{x(x+5)^2}\,}$$

p.84 問6$${\small (1)}~y’=\sqrt{2}\cdot 5^{\sqrt{2}}x^{\sqrt{2}-1}$$$${\small (2)}~y’=x^{a-1}(a\log_{}x+1)$$

p.85 問7$${\small (1)}~y’=3^x\log_{}3$$$${\small (2)}~y’=-\left(\frac{\,1\,}{\,10\,}\right)^x\log_{}10$$$${\small (3)}~y’=-2e^{-2x}$$

p.85 問8$${\small (1)}~y’=e^{x-2}+5^x\log_{}5$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,2x-x^2\,}{\,e^x\,}$$$${\small (3)}~y’=2(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})$$$${\small (4)}~y’=2xe^{x^2}$$

p.86 問9右辺を直接微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\left\{(1-x^2)^{\frac{\,1\,}{\,2\,}} \right\}’\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}(1-x^2)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot(-2x)\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,x\,}{\,\sqrt{1-x^2}\,}\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}$$また、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\left\{-(1-x^2)^{\frac{\,1\,}{\,2\,}} \right\}’\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,1\,}{\,2\,}(1-x^2)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot(-2x)\\[3pt]~~~&=&\frac{\,x\,}{\,\sqrt{1-x^2}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,x\,}{\,-y\,}=-\frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}$$

p.86 問10[証明] 両辺を \(x\) について微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~2y\cdot \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&8\\[3pt]~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}$$[終]

p.87 問11$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,x\,}{\,4y\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,4x\,}{\,9y\,}$$

p.88 問12$${\small (1)}~x+2y-7=0$$$${\small (2)}~x=\frac{\,1\,}{\,4\,}y^2-1$$

p.89 問13$$\begin{eqnarray} ~~ \left\{\begin{array}{l}
x=5\cos{\theta} \\ y=5\sin{\theta}
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

p.89 問14$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=2t$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,\cos{t}\,}{\,\sin{t}\,}=-\frac{\,1\,}{\,\tan{t}\,}$$

p.91 問15$${\small (1)}~y’=4x^3~,~y'{}’=12x^2~,~y'{}'{}’=24x$$$${\small (2)}~y’=3e^{3x}~,~y'{}’=9e^{3x}~,~y'{}'{}’=27e^{3x}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,1\,}{\,x\,}~,~y'{}’=-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y'{}'{}’=\frac{\,2\,}{\,x^3\,}$$$${\small (4)}~y’=a\cos{ax}~,~y'{}’=-a^2\sin{ax}$$$$~~~~~,~y'{}'{}’=-a^3\cos{ax}$$

p.92 問16$${\small (1)}~y^{(n)}=5e^x+(-1)^{n}e^{-x}$$$${\small (2)}~y^{(n)}=2^x(\log_{}2)^n$$

p.92 問17$$~~~y’=-\sin{x}~,~y'{}’=-\cos{x}$$$$~~~y'{}'{}’=\sin{x}~,~y^{(4)}=\cos{x}$$$$~~~y^{(5)}=-\sin{x}$$

p.92 問18[証明]$$\begin{eqnarray}~~~y’&=&-e^{-x}\cos{x}+e^{-x}(-\sin{x})\\[2pt]~~~&=&-e^{-x}\sin{x}+e^{-x}\cos{x}\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray}~~~y'{}’&=&e^{-x}\sin{x}-e^{-x}\cos{x}\\[2pt]~~~&&~~~~~~-e^{-x}\cos{x}-e^{-x}\sin{x}\\[2pt]~~~&=&-2e^{-x}\cos{x}\end{eqnarray}$$これより、$$\begin{split}&y'{}’+2y’+2y\\[2pt]~~=~&-2e^{-x}\cos{x}-2e^{-x}\sin{x}\\[2pt]~~~~&~~~~~~+2e^{-x}\cos{x}+2e^{-x}\sin{x}\\[2pt]~~=~&0\end{split}$$[終]

p.93 問題 8[証明]$$~~~(\cos{x})’=\lim_{h \to 0}\frac{\,\cos{(x+h)}-\cos{x}\,}{\,h\,}$$\(\cos{(x+h)}\) は加法定理を用いて、$$\begin{eqnarray}~~~&=&\lim_{h \to 0}\frac{\,\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h \to 0}\left\{\frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\cos{x}-\frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\sin{x}\right\}\end{eqnarray}$$ここで、$$~~~\lim_{h \to 0}\frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}=1$$また、$$\begin{split}&\lim_{h \to 0}\frac{\,\cos{h}-1\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\frac{\,\cos^2{h}-1\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\frac{\,-\sin^2{h}\,}{\,h(\cos{h}+1)\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\left(-\frac{\,\sin{h}\,}{\,h\,}\cdot \frac{\,\sin{h}\,}{\,\cos{h}+1\,}\right)\\[3pt]~~=~&-1\cdot\frac{\,0\,}{\,1+1\,}=0\end{split}$$したがって、$$\begin{eqnarray}~~~(\cos{x})’&=&0\cdot \cos{x}-1 \sin{x}\\[2pt]~~~&=&-\sin{x}\end{eqnarray}$$[終]

p.93 問題 13[証明] 左辺より、$$\begin{eqnarray}~~~(uv)'{}’&=&(u’v+uv’)’\\[2pt]~~~&=&(u’v)’+(uv’)’\\[2pt]~~~&=&(u”v+u’v’)+(u’v’+uv”)\\[2pt]~~~&=&u”v+2u’v’+uv”\end{eqnarray}$$[終]

p.96 練習問題Ａ 4[証明] 両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~y+x\frac{\,dy\,}{\,dx\,}-2\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0\\[3pt]~~~(x+1)\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-y+2\\[3pt]~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\frac{\,y-2\,}{\,x+1\,}\end{eqnarray}$$[終]

p.96 練習問題Ａ 6[証明]$$~~~y’=\frac{\,1+2x^2\,}{\,\sqrt{+x^2}\,}$$$$~~~y'{}’=\frac{\,3x+2x^3\,}{\,(1+x^2)\sqrt{1+x^2}\,}$$これより、この等式の左辺は、$$\begin{split}&(1+x^2)y'{}’+xy’
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3x+2x^3\,}{\,\sqrt{1+x^2}\,}+\frac{\,x+2x^3\,}{\,\sqrt{+x^2}\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,4x(1+x^2)\,}{\,\sqrt{+x^2}\,}
\\[3pt]~~=~&4x\sqrt{1+x^2}
\\[2pt]~~=~&4y
\end{split}$$[終]