無理関数の式変形

\( y=\sqrt{\,2x+6\,} \) の定義域と値域は、

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「ルートの中は \(0\) 以上」より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2x+6&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~2x&{\small ~≧~}&-6
\\[3pt]~~~x&{\small ~≧~}&-3\end{eqnarray}\)

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また、「ルートの値は \(0\) 以上」より、

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　\(\sqrt{\,2x+6\,}{\small ~≧~}0 ~\Leftrightarrow ~ y{\small ~≧~}0\)

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ここで、\( y=\sqrt{\,2x+6\,} \) を式変形すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sqrt{\,2x+6\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2(x+3)\,}\end{eqnarray}\)

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これより、\( y=\sqrt{\,2x\,} \) のグラフを
\( x \) 軸方向に \( -3 \) だけ平行移動させたグラフである

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したがって、

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　定義域 \( x {\small ~≧~} -3 \)、値域 \( y {\small ~≧~} 0 \)
　\( y=\sqrt{\,2x\,} \) のグラフを
　\( x \) 軸方向に \( -3 \) だけ平行移動させたグラフとなる
 
 
\(y=\sqrt{\,2x-a\,}\) のグラフが点 \((6~,~a)\) を通るときについて

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点 \((6~,~a)\) の座標を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2 \cdot 6-a\,}&=&a
\\[3pt]~~~\sqrt{\,12-a\,}&=&a\end{eqnarray}\)

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ここで、「ルートの値は \(0\) 以上」より、

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　\(a{\small ~≧~}0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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また、両辺を2乗すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~12-a&=&a^2
\\[3pt]~~~a^2+a-12&=&0
\\[3pt]~~~(a+4)(a-3)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-4~,~3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より \(a{\small ~≧~}0\) なので、\(a=-4\) は適さない

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したがって、\(a=3\) となる

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