- 数学Ⅲ｜関数「文字係数の分数関数の漸近線の条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜文字係数の分数関数の漸近線の条件
関数 03☆関数 \(y=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,x-1\,}\) が点 \((2~,~3)\) を通り、漸近線の1つが直線 \(y=2\) であるとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
文字係数の分数関数の漸近線の条件
Point：文字係数の分数関数の漸近線の条件
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a(x-1)+a+b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,x-1\,}+a\end{eqnarray}\)
② 漸近線を読み取り、条件と合わせて条件式をつくる。
漸近線は \(x=1~,~y=a\) より、\(a=2\)
③ 通る点の条件は、関数に代入して条件式をつくる。
点 \((2~,~3)\) を通るので、\(3=\displaystyle \frac{\,2a+b\,}{\,2-1\,}\)
④ 条件式より、定数の値を求める。
\(a=2\) を代入して、\(b=-1\)
① 1次式÷1次式を計算して、分数関数の基本形に式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a(x-1)+a+b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,x-1\,}+a\end{eqnarray}\)
② 漸近線を読み取り、条件と合わせて条件式をつくる。
漸近線は \(x=1~,~y=a\) より、\(a=2\)
③ 通る点の条件は、関数に代入して条件式をつくる。
点 \((2~,~3)\) を通るので、\(3=\displaystyle \frac{\,2a+b\,}{\,2-1\,}\)
④ 条件式より、定数の値を求める。
\(a=2\) を代入して、\(b=-1\)
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詳しい解説｜文字係数の分数関数の漸近線の条件
関数 03☆関数 \(y=\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,x-1\,}\) が点 \((2~,~3)\) を通り、漸近線の1つが直線 \(y=2\) であるとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形すると、
\(~~~ax+b=a(x-1)+(a+b)\)
※ \(a(x-1)=ax-a\) より \(+(a+b)\) する
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,ax+b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a(x-1)+(a+b)\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a(x-1)\,}{\,x-1\,}+\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&a+\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,x-1\,}+a\end{eqnarray}\)
よって、漸近線は \(x=1~,~y=a\)
問題文の条件より、漸近線は \(y=2\) であるので、
\(~~~a=2\)
次に、点 \((2~,~3)\) を通ることより、
関数に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3&=&\displaystyle \frac{\,a{\, \small \times \,}2+b\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~3&=&\displaystyle \frac{\,2a+b\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~3&=&2a+b\end{eqnarray}\)
ここに \(a=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3&=&2{\, \small \times \,}2+b
\\[3pt]~~~3&=&4+b
\\[3pt]~~~4+b&=&3
\\[3pt]~~~b&=&3-4
\\[3pt]~~~b&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(a=2~,~b=-1\) となる
