- 数学Ⅲ｜関数「1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
関数 02分数関数 \(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,4x-4\,}{\,2x-1\,}\) のグラフのかき方と、漸近線、定義域や値域の求め方は？また、\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) の \(2\lt x{\small ~≦~}3\) における値域は？さらに、\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) のグラフは \(y=\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,x+1\,}\) のグラフをどのように平行移動したものか？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
Point：1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) のグラフは、
① 分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形する。
\(2(x-1)\) とすると、\(2x-2\) となるので \(+1\) で定数項を調節する。
\(y=\displaystyle \frac{\,2(x-1)+1\,}{\,x-1\,}\)
※ 分子を分母で割った商と余りでもよい。
② 2つの分数に分けて、一般形に式変形してグラフをかく。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)\,}{\,x-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2\end{eqnarray}\)
これより、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+1\)、\(y\) 軸方向に \(+2\) 平行移動した直角双曲線となる。
※ 分母の \(x\) の係数が \(1\) でないときは、分母分子をその係数で割って \(x\) の係数を \(1\) にする。
※ 一般形にしたときの分子が等しいときに、平行移動で重なる。
\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) のグラフは、
① 分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形する。
\(2(x-1)\) とすると、\(2x-2\) となるので \(+1\) で定数項を調節する。
\(y=\displaystyle \frac{\,2(x-1)+1\,}{\,x-1\,}\)
※ 分子を分母で割った商と余りでもよい。
② 2つの分数に分けて、一般形に式変形してグラフをかく。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)\,}{\,x-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2\end{eqnarray}\)
これより、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+1\)、\(y\) 軸方向に \(+2\) 平行移動した直角双曲線となる。
※ 分母の \(x\) の係数が \(1\) でないときは、分母分子をその係数で割って \(x\) の係数を \(1\) にする。
■ 2つの分数関数を比較するには、漸近線の交点の移動を考える。
※ 一般形にしたときの分子が等しいときに、平行移動で重なる。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
関数 02分数関数 \(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,4x-4\,}{\,2x-1\,}\) のグラフのかき方と、漸近線、定義域や値域の求め方は？また、\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) の \(2\lt x{\small ~≦~}3\) における値域は？さらに、\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) のグラフは \(y=\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,x+1\,}\) のグラフをどのように平行移動したものか？
高校数学Ⅲ｜関数
\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) について
分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形すると、
\(2x-1=2(x-1)+1\)
※ \(2(x-1)=2x-2\) より \(+1\) する
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)+1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(x-1)\,}{\,x-1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2\end{eqnarray}\)
これより、
定義域は \(x\neq 1\)、値域は \(y\neq 2\)
漸近線は \(x=1~,~y=2\)
また、
\(x=0\) のとき、\(y=1\)
\(y=0\) のとき、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
これより、座標軸の交点は \((0~,~1)~,~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0\right)\)
グラフは、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+1\)、\(y\) 軸方向に \(+2\) 平行移動した
直角双曲線となるので、
\(y=\displaystyle \frac{\,4x-4\,}{\,2x-1\,}\) について
分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形すると、
\(4x-4=2(2x-1)-2\)
※ \(2(2x-1)=4x-2\) より \(-2\) する
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,4x-4\,}{\,2x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2x-1)-2\,}{\,2x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2x-1)\,}{\,2x-1\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2x-1\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2x-1\,}+2\end{eqnarray}\)
ここで、分数式の分母分子に \({\, \small \div \,}2\) をして、\(x\) の係数を \(1\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-\displaystyle \frac{\,2{\, \small \div \,}2\,}{\,(2x-1){\, \small \div \,}2\,}+2
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-\large \frac{\,1\,}{\,2\,}\,}+2\end{eqnarray}\)
これより、
定義域は \(x\neq \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、値域は \(y\neq 2\)
漸近線は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~y=2\)
また、
\(x=0\) のとき、\(y=4\)
\(y=0\) のとき、\(x=1\)
これより、座標軸の交点は \((0~,~4)~,~(1~,~0)\)
グラフは、\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、\(y\) 軸方向に \(+2\) 平行移動した
直角双曲線となるので、
\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}\) の \(2\lt x{\small ~≦~}3\) における値域について
上で式変形したことより、
\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2\)
\(2\lt x{\small ~≦~}3\) の両端の \(y\) の値を求めると、
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2-1\,}+2
\\[5pt]~~~&=&1+2
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3-1\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
グラフより、\(2\lt x{\small ~≦~}3\) では、\(x\) が増加すると \(y\) は減少する
また、\(x=2\) は定義域に含まれないので、\(y=3\) は値域に含まれない
したがって、値域は \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}{\small ~≦~}y\lt 3\) となる
\(y=\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,x+1\,}\) のグラフからの平行移動について
分子を「分母の1次式の倍数＋定数」に式変形すると、
\(x+2=(x+1)+1\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x+1)+1\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,x+1\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x+1\,}+1\end{eqnarray}\)
これより、漸近線は \(x=-1~,~y=1\) となり、漸近線の交点は \((-1~,~1)\)
また、上で式変形したことより、
\(y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-1\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2\)
これより、漸近線は \(x=1~,~y=2\) となり、漸近線の交点は \((1~,~2)\)
どちらも \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフを平行移動した直角双曲線なので、
漸近線の交点の移動を考えると、
\((-1~,~1)~\longrightarrow~(1~,~2)\)
\(x\) 座標は、\(1-(-1)=2\) だけ移動する
\(y\) 座標は、\(2-1=1\) だけ移動する
したがって、\(x\) 軸方向に \(+2\)、\(y\) 軸方向に \(+1\) 平行移動したものとなる
