- 数学Ⅲ｜関数「分数関数のグラフと漸近線」の基本例題解説ページです。
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問題｜分数関数のグラフと漸近線
関数 01分数関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2\) のグラフのかき方は？また、漸近線、定義域や値域の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
解法のPoint
分数関数のグラフ
Point：分数関数のグラフ
定義域は \(x\neq 0\)、値域は \(y\neq 0\)
漸近線は \(x=0~,~y=0\) の2本となる
\({\small [\,1\,]}\) \(k\gt 0\) のときのグラフは、
第1象限と第3象限にある直角双曲線
\({\small [\,2\,]}\) \(k\lt 0\) のときのグラフは、
第2象限と第4象限にある直角双曲線
分数関数 \(y=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,x\,}~~(\,k\neq 0\,)\) について、
定義域は \(x\neq 0\)、値域は \(y\neq 0\)
漸近線は \(x=0~,~y=0\) の2本となる
\({\small [\,1\,]}\) \(k\gt 0\) のときのグラフは、
第1象限と第3象限にある直角双曲線
\({\small [\,2\,]}\) \(k\lt 0\) のときのグラフは、
第2象限と第4象限にある直角双曲線
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平行移動後の分数関数のグラフ
Point：平行移動後の分数関数のグラフ
定義域は \(x\neq p\)、値域は \(y\neq q\)
漸近線は \(x=p~,~y=q\) の2本となる
グラフは、\(y=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,x\,}\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+p\)、\(y\) 軸方向に \(+q\) 平行移動した
直角双曲線となる。
また、\(x\) 軸との交点( \(x\) 切片) は \(y=0\) を代入して、\(y\) 軸との交点( \(y\) 切片) は \(x=0\) を代入して求める。
分数関数 \(y=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,x-p\,}+q\) について、
定義域は \(x\neq p\)、値域は \(y\neq q\)
漸近線は \(x=p~,~y=q\) の2本となる
グラフは、\(y=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,x\,}\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+p\)、\(y\) 軸方向に \(+q\) 平行移動した
直角双曲線となる。
また、\(x\) 軸との交点( \(x\) 切片) は \(y=0\) を代入して、\(y\) 軸との交点( \(y\) 切片) は \(x=0\) を代入して求める。
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詳しい解説｜分数関数のグラフと漸近線
関数 01分数関数 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,}~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2\) のグラフのかき方は？また、漸近線、定義域や値域の求め方は？
高校数学Ⅲ｜関数
分数関数 \( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,} \) より、
定義域は \(x\neq 0\)、値域は \(y\neq 0\)
漸近線は \(x=0~,~y=0\)
\(k=1\gt 0\) であることより、
グラフは、第1象限と第3象限にある直角双曲線
分数関数 \( y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x\,} \) より、
定義域は \(x\neq 0\)、値域は \(y\neq 0\)
漸近線は \(x=0~,~y=0\)
\(k=-2\lt 0\) であることより、
グラフは、第2象限と第4象限にある直角双曲線
分数関数 \( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2 \) より、
定義域は \(x\neq 1\)、値域は \(y\neq 2\)
漸近線は \(x=1~,~y=2\)
グラフは、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフを、
\(x\) 軸方向に \(+1\)、\(y\) 軸方向に \(+2\) 平行移動した
直角双曲線である
また、\(x\) 軸との交点( \(x\) 切片) は \(y=0\) を代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}&=&2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}&=&-2\end{eqnarray}\)
逆数をとると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~x-1&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~x&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、交点は \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0\right)\)
\(y\) 軸との交点( \(y\) 切片) は \(x=0\) を代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,0-1\,}+2
\\[5pt]~~~&=&-1+2
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、交点は \((0~,~1)\)
したがって、\( y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-1\,}+2 \) のグラフは、
