このページは、「放物線上の点と関数の極限」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01放物線 \(y=x^2\) 上の点 \({\rm P}\) と \(x\) 軸上の正の部分にある点 \({\rm Q}\) が、\({\rm OP}={\rm OQ}\) の関係を保ちながら動くとき、直線 \({\rm PQ}\) が \(y\) 軸と交わる点を \({\rm R}\) とする。点 \({\rm P}\) が第 \(1\) 象限にあって原点 \({\rm O}\) に限りなく近づくとき、点 \({\rm R}\) が近づいていく点の座標を求めよ。
数研出版｜数学Ⅲ[708] p.71 演習問題A 4
数研出版｜高等学校数学Ⅲ[709] p.68 章末問題B 10
数研出版｜新編数学Ⅲ[710] p.67 章末問題B 11
東京書籍｜Advanced数学Ⅲ[701] p.63 練習問題B 14
点 \({\rm P}\) は放物線 \(y=x^2\) 上の第 \(1\) 象限にあるので、\({\rm P}(t~,~t^2)~~(t \gt 0)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) に限りなく近づくとき、\(t \to +0\) となる
また、\(t \gt 0\) より \(\sqrt{\,t^2\,}=t\) となるので、\({\rm OP}\) の長さは、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&\sqrt{\,t^2+(t^2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,t^2(1+t^2)\,}
\\[3pt]~~~&=&t\sqrt{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm OP}={\rm OQ}\) で、点 \({\rm Q}\) は \(x\) 軸上の正の部分にあるので、\({\rm Q}(t\sqrt{\,1+t^2\,}~,~0)\) となる
また、直線 \({\rm PQ}\) の傾きは、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,0-t^2\,}{\,t\sqrt{\,1+t^2\,}-t\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,t^2\,}{\,t\left(\sqrt{\,1+t^2\,}-1\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,t\,}{\,\sqrt{\,1+t^2\,}-1\,}\end{eqnarray}\)
直線 \({\rm PQ}\) は点 \({\rm Q}\) を通るので、直線 \({\rm PQ}\) の方程式は、
\(y=-\displaystyle \frac{\,t\,}{\,\sqrt{\,1+t^2\,}-1\,}\left(x-t\sqrt{\,1+t^2\,}\right)\)
点 \({\rm R}\) は \(y\) 軸上にあるので、\({\rm R}(0~,~a)\) とおき、\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,t\,}{\,\sqrt{\,1+t^2\,}-1\,}\left(0-t\sqrt{\,1+t^2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,t^2\sqrt{\,1+t^2\,}\,}{\,\sqrt{\,1+t^2\,}-1\,}\end{eqnarray}\)
よって、点 \({\rm R}\) の \(y\) 座標 \(a\) の極限は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,t^2\sqrt{\,1+t^2\,}\,}{\,\sqrt{\,1+t^2\,}-1\,}\end{eqnarray}\)
分母に \(\sqrt{\,1+t^2\,}-1\) があるので、分母と分子に \(\sqrt{\,1+t^2\,}+1\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,t^2\sqrt{\,1+t^2\,}\left(\sqrt{\,1+t^2\,}+1\right)\,}{\,\left(\sqrt{\,1+t^2\,}-1\right)\left(\sqrt{\,1+t^2\,}+1\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,t^2\sqrt{\,1+t^2\,}\left(\sqrt{\,1+t^2\,}+1\right)\,}{\,(1+t^2)-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,t^2\sqrt{\,1+t^2\,}\left(\sqrt{\,1+t^2\,}+1\right)\,}{\,t^2\,}\end{eqnarray}\)
分母と分子を \(t^2\) で約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\sqrt{\,1+t^2\,}\left(\sqrt{\,1+t^2\,}+1\right)\end{eqnarray}\)
\(t \to +0\) のとき \(t^2 \to 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{\,1+0\,}\left(\sqrt{\,1+0\,}+1\right)
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot (1+1)
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm R}\) は点 \((0~,~2)\) に近づく
