- 数学Ⅲ｜極限「放物線上の点と関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜放物線上の点と関数の極限
極限 36放物線 \(y=x^2\) 上の第 \(1\) 象限にある点 \({\rm P}\) に対して、\({\rm OR}={\rm PR}\) となる \(y\) 軸上の点を \({\rm R}\) とし、点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) に限りなく近づくとき、点 \({\rm R}\) が近づいていく点の座標の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
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放物線上の点と関数の極限
解法のPoint
放物線上の点と関数の極限
Point：放物線上の点と関数の極限放物線上の点が原点に近づくときの極限は、
① 放物線上の点 \({\rm P}\) の座標を \(t\) を用いて表す。
\({\rm P}(t~,~t^2)~~(t \gt 0)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) に近づくとき、\(t \to +0\)
② 条件から点 \({\rm R}\) の座標を \(t\) の式で表す。
\({\rm R}(0~,~a)\) とおき、\({\rm OR}^2={\rm PR}^2\) より \(a\) を求める
③ 約分して不定形を解消し、極限を求める。
① 放物線上の点 \({\rm P}\) の座標を \(t\) を用いて表す。
\({\rm P}(t~,~t^2)~~(t \gt 0)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) に近づくとき、\(t \to +0\)
② 条件から点 \({\rm R}\) の座標を \(t\) の式で表す。
\({\rm R}(0~,~a)\) とおき、\({\rm OR}^2={\rm PR}^2\) より \(a\) を求める
③ 約分して不定形を解消し、極限を求める。
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詳しい解説｜放物線上の点と関数の極限
極限 36放物線 \(y=x^2\) 上の第 \(1\) 象限にある点 \({\rm P}\) に対して、\({\rm OR}={\rm PR}\) となる \(y\) 軸上の点を \({\rm R}\) とし、点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) に限りなく近づくとき、点 \({\rm R}\) が近づいていく点の座標の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
点 \({\rm P}\) は放物線 \(y=x^2\) 上の第 \(1\) 象限にあるので、\({\rm P}(t~,~t^2)~~(t \gt 0)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) に限りなく近づくとき、\(t \to +0\) となる
また、点 \({\rm R}\) は \(y\) 軸上にあるので、\({\rm R}(0~,~a)\) とおくと、
\({\rm OR}={\rm PR}\) の両辺は \(0\) 以上なので、両辺を \(2\) 乗して \({\rm OR}^2={\rm PR}^2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OR}^2&=&{\rm PR}^2
\\[3pt]~~~(0-0)^2+(a-0)^2&=&(0-t)^2+(a-t^2)^2
\\[3pt]~~~a^2&=&t^2+a^2-2at^2+t^4
\\[3pt]~~~2at^2&=&t^2+t^4\end{eqnarray}\)
\(t \gt 0\) より \(t^2 \neq 0\) なので、両辺を \(2t^2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle \frac{\,t^2+t^4\,}{\,2t^2\,}\end{eqnarray}\)
よって、点 \({\rm R}\) の \(y\) 座標 \(a\) の極限は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,t^2+t^4\,}{\,2t^2\,}\end{eqnarray}\)
分子を \(t^2\) でくくり、分母と分子を \(t^2\) で約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,t^2(1+t^2)\,}{\,2t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{t \to +0}\displaystyle \frac{\,1+t^2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(t \to +0\) のとき \(t^2 \to 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm R}\) は点 \(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\) に近づく
