- 数学C｜平面上のベクトル「2点を通る直線の媒介変数表示」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜2点を通る直線の媒介変数表示
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
2点を通る直線の媒介変数表示
異なる2点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を通る直線のベクトル方程式は、
直線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) 、媒介変数を \(t\) として、
\(\overrightarrow{p}=(1-t)\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}\)
また、2つの係数の和が \(1\) になる形として、
\(\overrightarrow{p}=s\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}~,~s+t=1\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜2点を通る直線の媒介変数表示
2点 \({\rm A}(2~,~ 3)~,~ {\rm B}(5~,~ -1)\) を通る直線の媒介変数表示の求め方は？また、媒介変数を消去した式の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
2点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と \({\rm B}(\overrightarrow{b})\) を通る直線のベクトル方程式は、媒介変数 \(t\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&(1-t)\,\overrightarrow{a}+t\,\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
となるので、
\(\overrightarrow{p}=\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]3\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}5\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\)
より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)
&=&(1-t)\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]3\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}5\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}2-2t\\[2pt]3-3t\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}5t\\[2pt]-t\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}2+3t\\[2pt]3-4t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
成分がそれぞれ等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}x=2+3t~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\y=3-4t~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,1\,]}\) を4倍したものと \({\small [\,2\,]}\) を3倍したものと加えて媒介変数 \(t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~
4x&=&8+12t \\
+\big{)}~~~~3y&=&9-12t\\
\hline 4x+3y&=&17
\\[2pt] 4x+3y-17&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}x=2+3t\\[3pt]y=3-4t\end{array}\right. ~ ~ ~,~ 4x+3y-17=0\end{eqnarray}\)
となる
