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問題｜円の接線のベクトル方程式
平面上のベクトル 67点 \({\rm C}(\overrightarrow{c})\) を中心とする半径 \(r\) の円の点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) における接線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、接線のベクトル方程式が \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) となることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
円の接線のベクトル方程式
Point：円の接線のベクトル方程式
接線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\) より、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\)
\(|\,\overrightarrow{\rm CA}\,|=r\) より、
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
両辺をそれぞれ加えることにより、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
点 \({\rm C}(\overrightarrow{c})\) を中心とする半径 \(r\) の円の点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) における接線のベクトル方程式は、
接線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\) より、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\)
\(|\,\overrightarrow{\rm CA}\,|=r\) より、
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
両辺をそれぞれ加えることにより、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
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詳しい解説｜円の接線のベクトル方程式
平面上のベクトル 67
点 \({\rm C}(\overrightarrow{c})\) を中心とする半径 \(r\) の円の点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) における接線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、接線のベクトル方程式が \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) となることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明]
点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致するとき、\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
また、点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致しないとき、\({\rm AP\perp CA}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
よって、どちらの場合でも、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}&=&0
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(|\,\overrightarrow{\rm CA}\,|=r\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\,|&=&r
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\,|^2&=&r^2
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})&=&r^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、両辺をそれぞれ加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})
\\[3pt]&&\hspace{20pt}~~~+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\end{eqnarray}\)
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})&=&r^2
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})&=&r^2
\end{eqnarray}\)
したがって、この円の接線のベクトル方程式は、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) [終]
