このページは、数研出版：数学Ｃ[708]
第４章 式と曲線
第４章 式と曲線
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数研出版数学Ｃ 第１章 平面のベクトル
数研出版数学Ｃ 第２章 空間のベクトル
数研出版数学Ｃ 第３章 複素数平面
数研出版数学Ｃ 第４章 式と曲線
第４章 式と曲線
第１節 ２次曲線
p.117 練習1\({\small (1)}~\)焦点 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~0 \right)\)、準線 \(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
\({\small (2)}~\)焦点 \(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0 \right)\)、準線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
p.117 練習3 焦点 \(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)\)、準線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
解法のPoint｜放物線の方程式と焦点・準線
p.120 練習4\({\small (1)}~\)長軸 \(10\)、短軸 \(6\)
焦点 \((4~,~0)~,~(-4~,~0)\)
頂点 \((5~,~0)~,~(-5~,~0)~,~(0~,~3)~,~(0~,~-3)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
焦点 \((4~,~0)~,~(-4~,~0)\)
頂点 \((5~,~0)~,~(-5~,~0)~,~(0~,~3)~,~(0~,~-3)\)
\({\small (2)}~\)長軸 \(4\)、短軸 \(2\)
焦点 \((\sqrt{3}~,~0)~,~(-\sqrt{3}~,~0)\)
頂点 \((2~,~0)~,~(-2~,~0)~,~(0~,~1)~,~(0~,~-1)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
p.120 問1\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
p.120 練習5\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
p.121 練習6\({\small (1)}~\)長軸 \(4\)、短軸 \(2\sqrt{3}\)
焦点 \((0~,~1)~,~(0~,~-1)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
焦点 \((0~,~1)~,~(0~,~-1)\)
\({\small (2)}~\)長軸 \(3\)、短軸 \(2\)
焦点 \(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,2\,}\right)~,~\left(0~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,2\,}\right)\)
解法のPoint｜楕円の方程式と概形
p.122 問2\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
解法のPoint｜円と楕円の関係
解法のPoint｜円と楕円の関係
p.122 練習7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜円と楕円の関係
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜円と楕円の関係
p.123 練習8\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\)
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p.123 練習9\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,100\,}=1\)
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p.126 練習10\({\small (1)}~\)頂点 \((3~,~0)~,~(-3~,~0)\)
焦点 \((5~,~0)~,~(-5~,~0)\)
漸近線\(~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0~,~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
焦点 \((5~,~0)~,~(-5~,~0)\)
漸近線\(~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0~,~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0\)
\({\small (2)}~\)頂点 \((1~,~0)~,~(-1~,~0)\)
焦点 \((\sqrt{2}~,~0)~,~(-\sqrt{2}~,~0)\)
漸近線\(~~~x-y=0~,~x+y=0\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
p.126 問3\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
p.126 練習11\(~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,5\,}=1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
p.127 練習12\({\small (1)}~\)頂点 \((0~,~4)~,~(0~,~-4)\)
焦点 \((0~,~\sqrt{41})~,~(0~,~-\sqrt{41})\)
漸近線\(~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0~,~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
焦点 \((0~,~\sqrt{41})~,~(0~,~-\sqrt{41})\)
漸近線\(~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0~,~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,5\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,4\,}=0\)
\({\small (2)}~\)頂点 \((0~,~\sqrt{6})~,~(0~,~-\sqrt{6})\)
焦点 \((0~,~\sqrt{10})~,~(0~,~-\sqrt{10})\)
漸近線\(~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,\sqrt{6}\,}=0~,~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,\sqrt{6}\,}=0\)
解法のPoint｜双曲線の方程式と概形
p.128 練習13\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2\,}=1\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=-1\)
解法のPoint｜直角双曲線の方程式
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=-1\)
解法のPoint｜直角双曲線の方程式
p.130 練習14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,(x+2)^2\,}{\,4\,}+(y-3)^2=1\)
焦点 \((\sqrt{3}-2~,~3)~,~(-\sqrt{3}-2~,~3)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,(x+2)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,(y-3)^2\,}{\,9\,}=1\)
焦点 \((\sqrt{13}-2~,~3)~,~(-\sqrt{13}-2~,~3)\)
\({\small (3)}~(y-3)^2=4(x+2)\) 焦点 \((-1~,~3)\)
解法のPoint｜平行移動した2次曲線の方程式
焦点 \((\sqrt{3}-2~,~3)~,~(-\sqrt{3}-2~,~3)\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,(x+2)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,(y-3)^2\,}{\,9\,}=1\)
焦点 \((\sqrt{13}-2~,~3)~,~(-\sqrt{13}-2~,~3)\)
\({\small (3)}~(y-3)^2=4(x+2)\) 焦点 \((-1~,~3)\)
解法のPoint｜平行移動した2次曲線の方程式
p.131 練習15\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(1\)、\(y\) 軸方向に \(3\) だけ平行移動させた楕円
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-y^2=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\)、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動させた双曲線
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
p.131 問5[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~y^2-6y-4x-7&=&0\\[2pt]~~~y^2-6y+9&=&4x+16\\[2pt]~~~(y-3)^2&=&4(x+4)\end{eqnarray}\)
これより、放物線 \(y^2=4x\) を \(x\) 軸方向に \(-4\)、\(y\) 軸方向に \(3\) だけ平行移動させた放物線 [終]
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
\(\begin{eqnarray}~~~y^2-6y-4x-7&=&0\\[2pt]~~~y^2-6y+9&=&4x+16\\[2pt]~~~(y-3)^2&=&4(x+4)\end{eqnarray}\)
これより、放物線 \(y^2=4x\) を \(x\) 軸方向に \(-4\)、\(y\) 軸方向に \(3\) だけ平行移動させた放物線 [終]
頂点 \((-4~,~3)\)、焦点 \((-3~,~3)\)、準線\(x=-5\)
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
p.131 練習16放物線 \(y^2=-16x\) を \(x\) 軸方向に \(1\)、\(y\) 軸方向に \(-4\) だけ平行移動させた放物線
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
p.133 練習17\({\small (1)}~(0~,~-3)~,~\left(\displaystyle \frac{\,24\,}{\,13\,}~,~-\displaystyle \frac{\,15\,}{\,13\,} \right)\)
\({\small (2)}~\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,} \right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,} \right)\)
\({\small (3)}~(2~,~4)\)
解法のPoint｜2次曲線と直線の共有点の座標
\({\small (2)}~\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,} \right)~,~\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,} \right)\)
\({\small (3)}~(2~,~4)\)
解法のPoint｜2次曲線と直線の共有点の座標
p.134 練習18\({\small (1)}~\)
\(k\lt -2~,~2\lt k\) のとき、２個
\(k=\pm 2\) のとき、１個
\(-2\lt k\lt 2\) のとき、０個
\({\small (2)}~\)
\(-1 \lt k \lt 1\) のとき、２個
\(k{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}k\) のとき、０個
解法のPoint｜2次曲線と直線の共有点の個数
\(k\lt -2~,~2\lt k\) のとき、２個
\(k=\pm 2\) のとき、１個
\(-2\lt k\lt 2\) のとき、０個
\({\small (2)}~\)
\(-1 \lt k \lt 1\) のとき、２個
\(k{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}k\) のとき、０個
解法のPoint｜2次曲線と直線の共有点の個数
p.135 練習19\(~~~\left( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \right)\)
解法のPoint｜曲線と直線との交点の中点の座標
解法のPoint｜曲線と直線との交点の中点の座標
p.136 練習20\(~~~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+2~,~(4~,~4)\)\(~~~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x-2~,~(4~,~-4)\)
解法のPoint｜曲線外の点から引いた接線の方程式
解法のPoint｜曲線外の点から引いた接線の方程式
p.137 練習21[証明] 点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) はどちらも放物線 \(y^2=4x\) 上の点であるので、それぞれの座標を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{y_1}^2&=&4x_1~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt]~~~{y_2}^2&=&4x_2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(y_1=y_2\) だとすると、\(2\) 点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) が一致してしまうので、\(y_1 \neq y_2\) となる
また、\(y^2=4x=4 \cdot 1 \cdot x\) 上の点 \({\rm P}(x_1~,~y_1)\) 、\({\rm Q}(x_2~,~y_2)\) における接線の方程式は、それぞれ
\(\begin{eqnarray}~~~y_1y&=&2(x+x_1)~~~\cdots {\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~y_2y&=&2(x+x_2)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
接線の交点 \({\rm R}\) の座標は、\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) を連立させると、
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y_1y-y_2y&=&2(x+x_1)-2(x+x_2)
\\[3pt]~~~(y_1-y_2)y&=&2x+2x_1-2x-2x_2
\\[3pt]~~~(y_1-y_2)y&=&2(x_1-x_2)\end{eqnarray}\)
\(y_1 \neq y_2\) より両辺を \(y_1-y_2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2(x_1-x_2)\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,x_1-x_2\,}{\,y_1-y_2\,}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、\(x_1=\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,4\,}~,~x_2=\displaystyle \frac{\,{y_2}^2\,}{\,4\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,{y_2}^2\,}{\,4\,}\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{y_1}^2-{y_2}^2\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(y_1+y_2)(y_1-y_2)\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、点 \({\rm R}\) の \(y\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\) となる
ここで、中点の公式より、線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm M}\) の \(y\) 座標は、
\(\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\)
したがって、点 \({\rm R}\) と点 \({\rm M}\) の \(y\) 座標が等しいので、直線 \({\rm RM}\) は \(x\) 軸に平行である [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~{y_1}^2&=&4x_1~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt]~~~{y_2}^2&=&4x_2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(y_1=y_2\) だとすると、\(2\) 点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) が一致してしまうので、\(y_1 \neq y_2\) となる
また、\(y^2=4x=4 \cdot 1 \cdot x\) 上の点 \({\rm P}(x_1~,~y_1)\) 、\({\rm Q}(x_2~,~y_2)\) における接線の方程式は、それぞれ
\(\begin{eqnarray}~~~y_1y&=&2(x+x_1)~~~\cdots {\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~y_2y&=&2(x+x_2)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
接線の交点 \({\rm R}\) の座標は、\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) を連立させると、
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y_1y-y_2y&=&2(x+x_1)-2(x+x_2)
\\[3pt]~~~(y_1-y_2)y&=&2x+2x_1-2x-2x_2
\\[3pt]~~~(y_1-y_2)y&=&2(x_1-x_2)\end{eqnarray}\)
\(y_1 \neq y_2\) より両辺を \(y_1-y_2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2(x_1-x_2)\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,x_1-x_2\,}{\,y_1-y_2\,}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、\(x_1=\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,4\,}~,~x_2=\displaystyle \frac{\,{y_2}^2\,}{\,4\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,{y_2}^2\,}{\,4\,}\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{y_1}^2-{y_2}^2\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(y_1+y_2)(y_1-y_2)\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、点 \({\rm R}\) の \(y\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\) となる
ここで、中点の公式より、線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm M}\) の \(y\) 座標は、
\(\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\)
したがって、点 \({\rm R}\) と点 \({\rm M}\) の \(y\) 座標が等しいので、直線 \({\rm RM}\) は \(x\) 軸に平行である [終]
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p.138 研究 練習1\({\small (1)}~2\sqrt{3}x+3\sqrt{2}y=12\)
\({\small (2)}~3x+2y=5\)
解法のPoint｜楕円・双曲線の接線の方程式
\({\small (2)}~3x+2y=5\)
解法のPoint｜楕円・双曲線の接線の方程式
p.141 問6[証明] 点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=1\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-1 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(2:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる [終]
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4+12\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点の座標は \((4~,~0)\) 、\((-4~,~0)\) となるので、
したがって、点 \({\rm F}(4~,~0)\) は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) の焦点の \(1\) つである [終]
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点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=1\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-1 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(2:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-4)^2+y^2&=&4(x-1)^2
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4(x^2-2x+1)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4x^2-8x+4
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2-4x^2+8x-4&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4(x^2-2x+1)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4x^2-8x+4
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2-4x^2+8x-4&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる [終]
[証明] 双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) の焦点の \(x\) 座標を \(c~(c\gt 0)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4+12\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点の座標は \((4~,~0)\) 、\((-4~,~0)\) となるので、
したがって、点 \({\rm F}(4~,~0)\) は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) の焦点の \(1\) つである [終]
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問題
p.142 問題 1\({\small (1)}~y^2=-4x\)
解法のPoint｜放物線の方程式の決定
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,24\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x^2-5y^2=-1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
解法のPoint｜放物線の方程式の決定
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,24\,}=1\)
解法のPoint｜楕円の方程式の決定
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x^2-5y^2=-1\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
p.142 問題 2\({\small (1)}~\)点 \((0~,~2)\)
\({\small (2)}~2\) 点 \((4~,~2)~,~(2~,~2)\)
\({\small (3)}~2\) 点 \((-1~,~0)~,~(-1~,~-4)\)
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
\({\small (2)}~2\) 点 \((4~,~2)~,~(2~,~2)\)
\({\small (3)}~2\) 点 \((-1~,~0)~,~(-1~,~-4)\)
解法のPoint｜x,yの2次方程式と2次曲線
p.142 問題 3\({\small (1)}~\)楕円 \(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,25\,}=1\)
\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,(x-5)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+1)^2\,}{\,9\,}=1\)
\({\small (3)}~\)放物線 \((y-1)^2=-4(x-2)\)
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\({\small (4)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\)
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\({\small (2)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,(x-5)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+1)^2\,}{\,9\,}=1\)
\({\small (3)}~\)放物線 \((y-1)^2=-4(x-2)\)
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\({\small (4)}~\)双曲線 \(\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\)
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p.142 問題 4 \(\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)~,~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜曲線と直線との交点の中点の座標
解法のPoint｜曲線と直線との交点の中点の座標
第２節 媒介変数表示と極座標
p.143 練習23\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2+5x+6\)
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2+1\) の \(x{\small ~≧~}0\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2+1\) の \(x{\small ~≧~}0\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
p.145 練習26\(~~~x=\displaystyle \frac{\,4p\,}{\,t^2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,4p\,}{\,t\,}\)
解法のPoint｜放物線の媒介変数表示
解法のPoint｜放物線の媒介変数表示
p.146 練習27\({\small (1)}~x=\cos{\theta}~,~y=\sin{\theta}\)
\({\small (2)}~x=\sqrt{3}\cos{\theta}~,~y=\sqrt{3}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
\({\small (2)}~x=\sqrt{3}\cos{\theta}~,~y=\sqrt{3}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
p.146 練習28\({\small (1)}~x=4\cos{\theta}~,~y=3\sin{\theta}\)
\({\small (2)}~x=2\cos{\theta}~,~y=5\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
\({\small (2)}~x=2\cos{\theta}~,~y=5\sin{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
p.147 練習29\({\small (1)}~x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\cos{\theta}\,}~,~y=2\tan{\theta}\)
\({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos{\theta}\,}~,~y=\sqrt{3}\tan{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
\({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos{\theta}\,}~,~y=\sqrt{3}\tan{\theta}\)
解法のPoint｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
p.148 練習30\({\small (1)}~\)楕円\(~~~\displaystyle \frac{\,(x+3)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,9\,}=1\)
\({\small (2)}~\)双曲線\(~~~\displaystyle \frac{\,(x-3)^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
\({\small (2)}~\)双曲線\(~~~\displaystyle \frac{\,(x-3)^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,(y-1)^2\,}{\,4\,}=1\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
p.149 練習31\({\small (1)}~\left( \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi-\sqrt{3}~,~1 \right)\) \({\small (2)}~(2\pi~,~4)\)
\({\small (3)}~(3\pi+2~,~2)\) \({\small (4)}~(4\pi~,~0)\)
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\({\small (3)}~(3\pi+2~,~2)\) \({\small (4)}~(4\pi~,~0)\)
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p.153 練習33\({\small (1)}~(2\sqrt{3}~,~2)\) \({\small (2)}~(-1~,~-\sqrt{3})\)
\({\small (3)}~\left( \displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,} \right)\)
解法のPoint｜極座標の表し方と直交座標に変換
\({\small (3)}~\left( \displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,} \right)\)
解法のPoint｜極座標の表し方と直交座標に変換
p.153 練習34\({\small (1)}~\left(\sqrt{2}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)\) \({\small (2)}~\left(3~,~\pi \right)\)
\({\small (3)}~\left(2~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \right)\)
解法のPoint｜直交座標の点を極座標に変換
\({\small (3)}~\left(2~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \right)\)
解法のPoint｜直交座標の点を極座標に変換
p.156 練習37\({\small (1)}~xy=1\) \({\small (2)}~x^2+y^2-2y=0\)
\({\small (3)}~y=x+1\)
解法のPoint｜極方程式を直交座標の方程式に変換
\({\small (3)}~y=x+1\)
解法のPoint｜極方程式を直交座標の方程式に変換
p.157 練習38\({\small (1)}~r^2=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2-\cos^2{\theta}\,}\)
\({\small (2)}~r=2\cos{\theta}\)
解法のPoint｜直交座標の方程式を極方程式に変換
\({\small (2)}~r=2\cos{\theta}\)
解法のPoint｜直交座標の方程式を極方程式に変換
問題
p.162 問題 7\({\small (1)}~\)放物線 \((y-3)^2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x-4)\)
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\) の \(x{\small ~≧~}0\) の部分
\({\small (3)}~\)放物線 \(y=x^2-2\) の \(x{\small ~≧~}2\) の部分
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
\({\small (4)}~\)双曲線 \(x^2-y^2=-1\)
\({\small (5)}~\)放物線 \(y=2x^2-1\) の \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の部分
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\) の \(x{\small ~≧~}0\) の部分
\({\small (3)}~\)放物線 \(y=x^2-2\) の \(x{\small ~≧~}2\) の部分
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
\({\small (4)}~\)双曲線 \(x^2-y^2=-1\)
\({\small (5)}~\)放物線 \(y=2x^2-1\) の \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の部分
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の平行移動
p.162 問題 9[証明] 円上の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とすると、\({\rm OP}=r~,~\)\({\rm OC}=r_1~,~\)\({\rm CP}=a\) となるので、
\({\small [\,1\,]}~\theta \gt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm POC}=\theta-\theta_1\) となるので、
\(\triangle {\rm POC}\) の余弦定理より、
\({\small [\,2\,]}~\theta \lt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm COP}=\theta_1-\theta\) となるので、
\(\triangle {\rm COP}\) の余弦定理より、
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos (\theta_1-\theta)&=&\cos \left\{\,-(\theta-\theta_1)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&\cos (\theta-\theta_1)\end{eqnarray}\)
これより、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
\({\small [\,3\,]}~\theta=\theta_1\) のとき、
点 \({\rm P}\) は半直線 \({\rm OC}\) 上にあるので、
\({\rm OP}=r_1-a\) または \({\rm OP}=r_1+a\)
これより、\(r=r_1-a~,~r_1+a\) となる
ここで、\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) に \(\theta=\theta_1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos 0&=&a^2
\\[3pt]~~~r^2-2r_1r+r_1^2&=&a^2
\\[3pt]~~~(r-r_1)^2&=&a^2
\\[3pt]~~~r-r_1&=&\pm a
\\[3pt]~~~r&=&r_1-a~,~r_1+a\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}\) のときも極方程式は成り立つ
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
逆に、この極方程式を満たす点は条件を満たす
したがって、極方程式は \(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) となる [終]
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\({\small [\,1\,]}~\theta \gt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm POC}=\theta-\theta_1\) となるので、
\(\triangle {\rm POC}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2 \cdot r \cdot r_1 \cdot \cos (\theta-\theta_1)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)&=&a^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)&=&a^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,2\,]}~\theta \lt \theta_1\) のとき、
\(\angle {\rm COP}=\theta_1-\theta\) となるので、
\(\triangle {\rm COP}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&r_1^2+r^2-2 \cdot r_1 \cdot r \cdot \cos (\theta_1-\theta)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)&=&a^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~a^2&=&r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)
\\[3pt]~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta_1-\theta)&=&a^2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos (\theta_1-\theta)&=&\cos \left\{\,-(\theta-\theta_1)\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&\cos (\theta-\theta_1)\end{eqnarray}\)
これより、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
\({\small [\,3\,]}~\theta=\theta_1\) のとき、
点 \({\rm P}\) は半直線 \({\rm OC}\) 上にあるので、
\({\rm OP}=r_1-a\) または \({\rm OP}=r_1+a\)
これより、\(r=r_1-a~,~r_1+a\) となる
ここで、\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) に \(\theta=\theta_1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2+r_1^2-2rr_1\cos 0&=&a^2
\\[3pt]~~~r^2-2r_1r+r_1^2&=&a^2
\\[3pt]~~~(r-r_1)^2&=&a^2
\\[3pt]~~~r-r_1&=&\pm a
\\[3pt]~~~r&=&r_1-a~,~r_1+a\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}\) のときも極方程式は成り立つ
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\)
逆に、この極方程式を満たす点は条件を満たす
したがって、極方程式は \(r^2+r_1^2-2rr_1\cos (\theta-\theta_1)=a^2\) となる [終]
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p.162 問題 11[証明] 壁を \(y\) 軸、床を \(x\) 軸とする座標平面で考え、棒の下端を \({\rm B}\) 、点 \({\rm P}\) の座標を \((x~,~y)\) とする
ここで、棒の長さが \(5\) 、壁と棒のなす角が \(\theta\) なので、下端 \({\rm B}\) の \(x\) 座標は
\(5\sin \theta\)
また、点 \({\rm P}\) は下端 \({\rm B}\) から棒に沿って \(2\) だけ上にあるので、点 \({\rm B}\) から見た点 \({\rm P}\) の \(x\) 軸方向、\(y\) 軸方向の移動量は
\(-2\sin \theta~,~2\cos \theta\)
これより、点 \({\rm P}\) の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&5\sin \theta-2\sin \theta
\\[3pt]~~~&=&3\sin \theta\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) の \(y\) 座標は、
\(y=2\cos \theta\)
よって、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}\) となり、\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}&=&1\end{eqnarray}\)
また、棒が壁に立てかけられた状態から床に倒れるまで動くので、
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
となり、
\(x{\small ~≧~}0~,~y{\small ~≧~}0\)
したがって、点 \({\rm P}\) は楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の \(x{\small ~≧~}0~,~y{\small ~≧~}0\) の部分にあるので、楕円の一部を描く [終]
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ここで、棒の長さが \(5\) 、壁と棒のなす角が \(\theta\) なので、下端 \({\rm B}\) の \(x\) 座標は
\(5\sin \theta\)
また、点 \({\rm P}\) は下端 \({\rm B}\) から棒に沿って \(2\) だけ上にあるので、点 \({\rm B}\) から見た点 \({\rm P}\) の \(x\) 軸方向、\(y\) 軸方向の移動量は
\(-2\sin \theta~,~2\cos \theta\)
これより、点 \({\rm P}\) の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&5\sin \theta-2\sin \theta
\\[3pt]~~~&=&3\sin \theta\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) の \(y\) 座標は、
\(y=2\cos \theta\)
よって、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}\) となり、\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}&=&1\end{eqnarray}\)
また、棒が壁に立てかけられた状態から床に倒れるまで動くので、
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
となり、
\(x{\small ~≧~}0~,~y{\small ~≧~}0\)
したがって、点 \({\rm P}\) は楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の \(x{\small ~≧~}0~,~y{\small ~≧~}0\) の部分にあるので、楕円の一部を描く [終]
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演習問題 式と曲線
p.163 演習問題A 1 \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,7\,}x^2-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,7\,}=-1~,~\)
\(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,70\,}\,}{\,3\,}\right)~,~\left(0~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,70\,}\,}{\,3\,}\right)\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
\(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,70\,}\,}{\,3\,}\right)~,~\left(0~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,70\,}\,}{\,3\,}\right)\)
解法のPoint｜双曲線の方程式の決定
p.163 演習問題A 2 \(-\sqrt{\,5\,}\lt k\lt\sqrt{\,5\,}\) 、
直線 \(y=4x\) の \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\lt x\lt\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) の部分
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直線 \(y=4x\) の \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\lt x\lt\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) の部分
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p.163 演習問題A 3 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\)
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
解法のPoint｜媒介変数表示の曲線の概形
p.163 演習問題A 4 \(r\cos \left(\theta\pm\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\alpha\right)=a\)
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p.163 演習問題B 5\({\small (1)}~y=mx+\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}\)
\({\small (2)}~\)直線 \(x=-p\)
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\({\small (2)}~\)直線 \(x=-p\)
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p.163 演習問題B 6\({\small (1)}~\)[証明] 点 \({\rm P}\) の座標を \((x~,~y)\) とすると、
\(2\) 定点 \({\rm A}(-a~,~0)~,~\)\({\rm B}(a~,~0)\) からの距離の積が \(a^2\) に等しいので、
\({\rm AP} \cdot {\rm BP}=a^2\)
ここで、\(2\) 点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&\sqrt{\,\left\{\,x-(-a)\,\right\}^2+(y-0)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x+a)^2+y^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}&=&\sqrt{\,(x-a)^2+(y-0)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-a)^2+y^2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\sqrt{\,(x+a)^2+y^2\,} \cdot \sqrt{\,(x-a)^2+y^2\,}=a^2\)
両辺は \(0\) 以上なので、両辺を \(2\) 乗すると、
\(\left\{\,(x+a)^2+y^2\,\right\}\left\{\,(x-a)^2+y^2\,\right\}=a^4\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+a)^2+y^2&=&x^2+2ax+a^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+y^2+a^2)+2ax\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-a)^2+y^2&=&x^2-2ax+a^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+y^2+a^2)-2ax\end{eqnarray}\)
これより、
逆に、この方程式を満たす点 \({\rm P}\) は条件を満たす
したがって、レムニスケートの方程式は \((x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\) となる [終]
\({\small (2)}~r^2=2a^2\cos 2\theta\)
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\(2\) 定点 \({\rm A}(-a~,~0)~,~\)\({\rm B}(a~,~0)\) からの距離の積が \(a^2\) に等しいので、
\({\rm AP} \cdot {\rm BP}=a^2\)
ここで、\(2\) 点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&\sqrt{\,\left\{\,x-(-a)\,\right\}^2+(y-0)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x+a)^2+y^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}&=&\sqrt{\,(x-a)^2+(y-0)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-a)^2+y^2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\sqrt{\,(x+a)^2+y^2\,} \cdot \sqrt{\,(x-a)^2+y^2\,}=a^2\)
両辺は \(0\) 以上なので、両辺を \(2\) 乗すると、
\(\left\{\,(x+a)^2+y^2\,\right\}\left\{\,(x-a)^2+y^2\,\right\}=a^4\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+a)^2+y^2&=&x^2+2ax+a^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+y^2+a^2)+2ax\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-a)^2+y^2&=&x^2-2ax+a^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+y^2+a^2)-2ax\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{\,(x^2+y^2+a^2)+2ax\,\right\}\left\{\,(x^2+y^2+a^2)-2ax\,\right\}&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2+a^2)^2-(2ax)^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)+a^4-4a^2x^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)-4a^2x^2&=&0
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2&=&4a^2x^2-2a^2(x^2+y^2)
\\[3pt]~~~&=&4a^2x^2-2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2(x^2-y^2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x^2+y^2+a^2)^2-(2ax)^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)+a^4-4a^2x^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)-4a^2x^2&=&0
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2&=&4a^2x^2-2a^2(x^2+y^2)
\\[3pt]~~~&=&4a^2x^2-2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2(x^2-y^2)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
逆に、この方程式を満たす点 \({\rm P}\) は条件を満たす
したがって、レムニスケートの方程式は \((x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\) となる [終]
\({\small (2)}~r^2=2a^2\cos 2\theta\)
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