- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルと外心・重心・垂心の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルと外心・重心・垂心の証明
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルと外心・重心・垂心の証明
■ ベクトルと外心
\(\rm O\) が \(\triangle \{\rm ABC\}\) の外心のとき、
\(|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=|\,\overrightarrow{\rm OC}\,|\)
■ ベクトルと垂心
垂心は頂点から対辺におろした垂線の交点であり、垂直条件より内積が \(0\) となることを用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AH}\perp\overrightarrow{\rm BC}
~\Leftrightarrow ~
\overrightarrow{\rm AH}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{\rm BH}\perp\overrightarrow{\rm CA}
~\Leftrightarrow ~
\overrightarrow{\rm BH}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0
\\[3pt]~~~\overrightarrow{\rm CH}\perp\overrightarrow{\rm AB}
~\Leftrightarrow ~
\overrightarrow{\rm CH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜ベクトルと外心・重心・垂心の証明
\(\triangle {\rm ABC}\) の外心を \(\rm O\)、重心を \(\rm G\) として、\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\)とするとき、3点 \(\rm O~,~G~,~H\) は一直線上にあることの証明方法は？また、点 \(\rm H\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心であることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
重心 \(\rm G\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\) より、
\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm OH}
\end{eqnarray}\)
したがって、 \(\rm O~,~G~,~H\) は一直線上にある [終]
[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{h}\) とおくと、
点 \(\rm O\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|=|\,\overrightarrow{b}\,|=|\,\overrightarrow{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{h}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm AH}\) と \(\overrightarrow{\rm BC}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AH}&=&\overrightarrow{h}-\overrightarrow{a}
\\[3pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-\overrightarrow{a}\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
よって、内積を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AH}\cdot\overrightarrow{\rm BC}
&=&(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{c}\,|^{2}-|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AH}\perp{\rm BC}\)
同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}\perp{\rm CA}~,~{\rm CH}\perp{\rm AB}
\end{eqnarray}\)
以上より、点 \(\rm H\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
