- 数学C｜平面上のベクトル「直径が条件の円のベクトル方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜直径が条件の円のベクトル方程式
平面上のベクトル 662点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})\) を直径とする円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、円のベクトル方程式が \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0\) となることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
直径が条件の円のベクトル方程式
Point：直径が条件の円のベクトル方程式
円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、\(\angle {\rm APB}=90^\circ\) であることより、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BP}=0\)
よって、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0\)
線分 \({\rm AB}\) を直径とする円のベクトル方程式は、
円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、\(\angle {\rm APB}=90^\circ\) であることより、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BP}=0\)
よって、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0\)
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詳しい解説｜直径が条件の円のベクトル方程式
平面上のベクトル 66
2点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})\) を直径とする円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、円のベクトル方程式が \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0\) となることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明]
線分 \({\rm AB}\) を直径とする円より、\(\angle {\rm APB}=90^\circ\) となり、\(\overrightarrow{\rm AP}\) と \(\overrightarrow{\rm BP}\) の内積は \(0\) となる
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm BP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BP}&=&0
\\[3pt]~~~(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})&=&0
\end{eqnarray}\)
[終]
