平行四辺形となるベクトルの条件

四角形 \({\rm ABCD}\) が平行四辺形となるためには、

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　\({\rm AD}={\rm BC}\) かつ \({\rm AD}\,//\,{\rm BC}\)

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これより、

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　\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm BC}\) となればよい

 

点 \({\rm D}\) の座標を \({\rm D}(x~,~y)\) とおき、\(\overrightarrow{\rm AD}\) と \(\overrightarrow{\rm BC}\) を成分で表すと、(原点を \({\rm O}\) として)

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AD}&=&\overrightarrow{\rm OD}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-5\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}x-4\\[2pt]y+5\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}5\\[2pt]4\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}5+2\\[2pt]4-3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}7\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

 

\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm BC}\) より、\(x\) 成分と \(y\) 成分がそれぞれ等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}
x-4=7\\[2pt]
y+5=1
\end{array}\right.
~\Leftrightarrow ~
\left\{~\begin{array}{l}
x=11\\[2pt]
y=-4
\end{array}\right.
\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \({\rm D}\) は \({\rm D}(11~,~-4)\) となる

 

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。