- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの成分を用いた計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルの成分を用いた計算
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの成分を用いた計算
ベクトルの成分の計算方法は、
■ 加法・減法
\(x\) 成分と \(y\) 成分をそれぞれ計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}a_1+b_1\\[2pt]a_2+b_2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
■ 実数倍の計算
\(x\) 成分と \(y\) 成分をそれぞれ \(k\) 倍する。
\(k\) を実数として、
\(\begin{eqnarray}~~~k\overrightarrow{a}&=&k\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right)&=&\left(\,\begin{array}{c}k a_1\\[2pt]k a_2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜ベクトルの成分を用いた計算
高校数学C｜平面上のベクトル
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\)~,~\(\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}1-3\\[2pt]2+4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]6\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2~,~6)\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}1+3\\[2pt]2-4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(4~,~-2)\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}&=&2\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-3\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]4\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}9\\[2pt]-12\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}2+9\\[2pt]4-12\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}11\\[2pt]-8\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
よって、\(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(11~,~-8)\) となる
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
