法線ベクトルと2直線のなす角

直線 \(x+2y-3=0\) の法線ベクトル \(\overrightarrow{m}\) は、

---

　\(\overrightarrow{m}=(1~,~2)\)

---

直線 \(3x+y-4=0\) の法線ベクトル \(\overrightarrow{n}\) は、

---

　\(\overrightarrow{n}=(3~,~1)\)

---

この2直線のなす角 \(\theta\) は、この法線ベクトル \(\overrightarrow{m}~,~\overrightarrow{n}\) のなす角に等しい

---

よって、\(\overrightarrow{m}\) と \(\overrightarrow{n}\) の内積は、それぞれの成分から計算すると、

---

　\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=1{\, \small \times \,}3+2{\, \small \times \,}1=5\)

---

\(\overrightarrow{m}\) と \(\overrightarrow{n}\) の大きさは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{m}\,|&=&\sqrt{\,1^2+2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{5}
\end{eqnarray}\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{n}\,|&=&\sqrt{\,3^2+1^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,9+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{10}
\end{eqnarray}\)

 

これより、内積の定義の式より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}
&=&|\,\overrightarrow{m}\,||\,\overrightarrow{n}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~5&=&\sqrt{\,5\,}\cdot\sqrt{\,10\,}\cdot\cos\theta
\\[5pt]~~~5\sqrt{\,2\,}\cos\theta&=&5
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(0{\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ\) より、\(\theta=45^\circ\)