このページは、「ベクトルと三角形の面積」の練習問題アーカイブページとなります。
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ベクトルと三角形の面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の \( 3 \) 点を頂点とする三角形の面積を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( {\rm O}(0~,~0)~,~{\rm A}(3~,~-1)~,~{\rm B}(4~,~2) \)
\({\small (2)}~\) \( {\rm P}(1~,~0)~,~{\rm Q}(-2~,~-1)~,~{\rm R}(-1~,~3) \)
\({\small (1)}~\) \( {\rm O}(0~,~0)~,~{\rm A}(3~,~-1)~,~{\rm B}(4~,~2) \)
\({\small (2)}~\) \( {\rm P}(1~,~0)~,~{\rm Q}(-2~,~-1)~,~{\rm R}(-1~,~3) \)
数研出版｜数学Ｃ[708] p.29 研究 練習1
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\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA}=(3~,~-1)~,~\overrightarrow{\rm OB}=(4~,~2)\) とすると、
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,3\cdot 2-(-1)\cdot 4\,|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,6+4\,|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=5 \)
\( \triangle{\rm PQR} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,(-3)\cdot 3-(-1)\cdot (-2)\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-9-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 11\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,} \)
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,3\cdot 2-(-1)\cdot 4\,|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,6+4\,|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=5 \)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm PQ}=(-2-1~,~-1-0)=(-3~,~-1)\)
\(\overrightarrow{\rm PR}=(-1-1~,~3-0)=(-2~,~3)\)
とすると、
\( \triangle{\rm PQR} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,(-3)\cdot 3-(-1)\cdot (-2)\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-9-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 11\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,} \)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の \( 3 \) 点を頂点とする三角形の面積を求めよ。
\( {\rm O}(0~,~0)~,~{\rm A}(4~,~1)~,~{\rm B}(2~,~-1) \)
\( {\rm O}(0~,~0)~,~{\rm A}(4~,~1)~,~{\rm B}(2~,~-1) \)
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.28 研究 練習1
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\(\overrightarrow{\rm OA}=(4~,~1)~,~\overrightarrow{\rm OB}=(2~,~-1)\) とすると、
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4\cdot (-1)-1\cdot 2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-4-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=3 \)
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4\cdot (-1)-1\cdot 2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-4-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=3 \)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の三角形の面積 \( S \) を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( |\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=4~,~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=5~,~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=-10 \) を満たす \( \triangle{\rm OAB} \)
\({\small (2)}~\) \( 3 \) 点 \( {\rm A}(1~,~0)~,~{\rm B}(-2~,~-1)~,~{\rm C}(-1~,~3) \) を頂点とする \( \triangle{\rm ABC} \)
\({\small (1)}~\) \( |\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=4~,~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=5~,~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=-10 \) を満たす \( \triangle{\rm OAB} \)
\({\small (2)}~\) \( 3 \) 点 \( {\rm A}(1~,~0)~,~{\rm B}(-2~,~-1)~,~{\rm C}(-1~,~3) \) を頂点とする \( \triangle{\rm ABC} \)
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.30 問題 5
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\({\small (1)}~\) \( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|^2|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|^2-(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB})^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{4^2\cdot 5^2-(-10)^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{400-100}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{300}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\sqrt{3}\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=5\sqrt{3} \)
\( \triangle{\rm ABC} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,(-3)\cdot 3-(-1)\cdot (-2)\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-9-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 11\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,} \)
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|^2|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|^2-(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB})^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{4^2\cdot 5^2-(-10)^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{400-100}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{300}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\sqrt{3}\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=5\sqrt{3} \)
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm AB}=(-2-1~,~-1-0)=(-3~,~-1)\)
\(\overrightarrow{\rm AC}=(-1-1~,~3-0)=(-2~,~3)\)
とすると、
\( \triangle{\rm ABC} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,(-3)\cdot 3-(-1)\cdot (-2)\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-9-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 11\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,} \)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\( \triangle{\rm OAB} \) について、\( |\,\overrightarrow{\rm OA}\,|=4~,~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|=5~,~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=-10 \) のとき、\( \triangle{\rm OAB} \) の面積を求めよ。
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.29 研究 練習1
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\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|^2|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|^2-(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB})^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{4^2\cdot 5^2-(-10)^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{400-100}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{300}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\sqrt{3}\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=5\sqrt{3} \)
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{\rm OA}\,|^2|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|^2-(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB})^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{4^2\cdot 5^2-(-10)^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{400-100}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{300}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\sqrt{3}\\[5pt]~~~&=&5\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=5\sqrt{3} \)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の \( 3 \) 点を頂点とする三角形の面積を求めよ。
\( {\rm O}(0~,~0)~,~{\rm A}(4~,~1)~,~{\rm B}(2~,~-1) \)
\( {\rm O}(0~,~0)~,~{\rm A}(4~,~1)~,~{\rm B}(2~,~-1) \)
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.29 研究 練習2
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\(\overrightarrow{\rm OA}=(4~,~1)~,~\overrightarrow{\rm OB}=(2~,~-1)\) とすると、
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4\cdot (-1)-1\cdot 2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-4-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=3 \)
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4\cdot (-1)-1\cdot 2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,-4-2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=3 \)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\({\small (2)}~\) \( 3 \) 点 \( {\rm O}(0~,~0)~,~{\rm A}(4~,~2)~,~{\rm B}(-1~,~1) \) を頂点とする三角形の面積を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.34 参考 問1
(1)の証明は、こちらから
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\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm OA}=(4~,~2)~,~\overrightarrow{\rm OB}=(-1~,~1)\) とすると、
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4\cdot 1-2\cdot (-1)\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4+2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=3 \)
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4\cdot 1-2\cdot (-1)\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,4+2\,|\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 6\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=3 \)
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\({\small (2)}~\) \( 3 \) 点 \( {\rm A}(2~,~4)~,~{\rm B}(-5~,~3)~,~{\rm C}(1~,~-1) \) であるとき、\( \triangle{\rm ABC} \) の面積を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.68 Level Up 4
(1)の証明は、こちらから
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\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm AB}=(-5-2~,~3-4)=(-7~,~-1)\)
\(\overrightarrow{\rm AC}=(1-2~,~-1-4)=(-1~,~-5)\)
とすると、
\(|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|^2=(-7)^2+(-1)^2=50\)
\(|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|^2=(-1)^2+(-5)^2=26\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=(-7)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-5)=12\)
\( \triangle{\rm ABC} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|^2|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|^2-(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC})^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{50\cdot 26-12^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{1300-144}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{1156}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 34\\[5pt]~~~&=&17\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=17 \)
\(\overrightarrow{\rm AC}=(1-2~,~-1-4)=(-1~,~-5)\)
とすると、
\(|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|^2=(-7)^2+(-1)^2=50\)
\(|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|^2=(-1)^2+(-5)^2=26\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=(-7)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-5)=12\)
\( \triangle{\rm ABC} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|^2|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|^2-(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC})^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{50\cdot 26-12^2}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{1300-144}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{1156}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 34\\[5pt]~~~&=&17\end{eqnarray}\)
したがって、\( S=17 \)
