- 数学C｜平面上のベクトル「方向ベクトルと直線の媒介変数表示」の基本例題解説ページです。
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問題｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
平面上のベクトル 55点 \({\rm A}(2~,~ 3)\) を通り、方向ベクトル \(\overrightarrow{d}=(1~,~ -2)\) の直線の媒介変数表示の求め方は？また、媒介変数を消去した式の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
方向ベクトルと直線の媒介変数表示
Point：方向ベクトルと直線の媒介変数表示
直線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\)、媒介変数を実数 \(t\) とすると、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)
&=&\left(\,\begin{array}{c}x_1\\[2pt]y_1\end{array}\,\right)
+t\left(\,\begin{array}{c}l\\[2pt]m\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~\Leftrightarrow ~ \left\{~\begin{array}{l}
x=x_1+t\,l\\ y=y_1+t\,m
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これが「直線の媒介変数表示」となり、
\(t\) を消去すると、直線の方程式が得られる。
点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) を通り、方向ベクトルが \(\overrightarrow{d}\) の直線のベクトル方程式は、
直線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\)、媒介変数を実数 \(t\) とすると、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}
\end{eqnarray}\)
また、
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}x_1\\[2pt]y_1\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{d}=\left(\,\begin{array}{c}l\\[2pt]m\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{p}=\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)\)
のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)
&=&\left(\,\begin{array}{c}x_1\\[2pt]y_1\end{array}\,\right)
+t\left(\,\begin{array}{c}l\\[2pt]m\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~\Leftrightarrow ~ \left\{~\begin{array}{l}
x=x_1+t\,l\\ y=y_1+t\,m
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これが「直線の媒介変数表示」となり、
\(t\) を消去すると、直線の方程式が得られる。
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詳しい解説｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
平面上のベクトル 55
点 \({\rm A}(2~,~ 3)\) を通り、方向ベクトル \(\overrightarrow{d}=(1~,~ -2)\) の直線の媒介変数表示の求め方は？また、媒介変数を消去した式の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
直線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\)、媒介変数を実数 \(t\) とすると、直線の媒介変数表示は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}
\end{eqnarray}\)
となるので、
\(\overrightarrow{p}=\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]3\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{d}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\)
より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\,\right)
&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\\[5pt]&=&\left(\,\begin{array}{c}2+t\\[2pt]3-2t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
成分はそれぞれ等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}
x=2+t~ ~ ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]} \\ y=3-2t \,~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,1\,]}\) を2倍して \({\small [\,2\,]}\) と加えて媒介変数 \(t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~
2x&=&4+2t \\
+\big{)}~~~~y&=&3-2t\\
\hline 2x+y&=&7
\\[2pt] 2x+y-7&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}
x=2+t \\ y=3-2t
\end{array}\right. ~~~,~ 2x+y-7=0\end{eqnarray}\)
となる
