ベクトルの平行条件と成分

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。

\( \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0} ~,~ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0} \) より、\( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{b} \) が平行であるのは、\( \overrightarrow{b}=k\,\overrightarrow{a} \) となる実数 \( k \) が存在するときである

---

※ 成分に文字を含まない方を \(k\) 倍とすると計算が楽！

---

\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}t-3\\[2pt]t\end{array}\,\right) \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~
\left(\,\begin{array}{c}t-3\\[2pt]t\end{array}\,\right)&=&k\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}k\\[2pt]2k\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

---

\(x\) 成分と \(y\) 成分がそれぞれ等しいことより、

---

\(~~~\left\{~\begin{array}{l}
t-3=k ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\[3pt]
t=2k ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\)

---

※ \(t\) を求めるので、\(k\) を消去する。

---

\({\small [\,1\,]}\) より \(k=t-3\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~t&=&2(t-3)
\\[3pt]~~~t&=&2t-6
\\[3pt]~~~-t&=&-6
\\[3pt]~~~t&=&6
\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(t=6\) となる

 

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。