- 数学C｜平面上のベクトル「正六角形のベクトルの表し方」の基本例題解説ページです。
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問題｜正六角形のベクトルの表し方
平面上のベクトル 11正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点 \({\rm O}\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~ \)\(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm AO}~,~ \overrightarrow{\rm AC}~,~ \overrightarrow{\rm BD}~,~ \overrightarrow{\rm CE}\) の表し方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
正六角形のベクトルの表し方
Point：正六角形のベクトルの表し方
\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) ただし、\(s~,~t\) は実数
正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点 \({\rm O}\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~ \)\(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とすると、どの2点を結んだベクトルも \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表すことができる。
これより、\(\overrightarrow{\rm AB}\) に平行なベクトルは \(\overrightarrow{a}\)、
\(\overrightarrow{\rm AF}\) に平行なベクトルは \(\overrightarrow{b}\) とする。
2つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が \(\overrightarrow{0}\) でなく平行でないとき、任意のベクトル \(\overrightarrow{p}\) は \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて、
\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) ただし、\(s~,~t\) は実数
このただ1通りで表すことができる。
■ 正六角形のベクトル
正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点 \({\rm O}\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~ \)\(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とすると、どの2点を結んだベクトルも \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表すことができる。
これより、\(\overrightarrow{\rm AB}\) に平行なベクトルは \(\overrightarrow{a}\)、
\(\overrightarrow{\rm AF}\) に平行なベクトルは \(\overrightarrow{b}\) とする。
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詳しい解説｜正六角形のベクトルの表し方
平面上のベクトル 11
正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点 \({\rm O}\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~ \)\(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm AO}~,~ \overrightarrow{\rm AC}~,~ \overrightarrow{\rm BD}~,~ \overrightarrow{\rm CE}\) の表し方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点 \({\rm O}\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~ \)\(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm AO}\) は、\(\overrightarrow{\rm BO}=\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AO}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BO}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AF}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AC}\) は、\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AO}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~~&=&2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
※ \(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BO}+\overrightarrow{\rm OC}\) でもよい。
\(\overrightarrow{\rm BD}\) は、\(\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と
\(\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BD}&=&\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AO}+\overrightarrow{\rm AF}
\\[3pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
※ \(\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{\rm BO}+\overrightarrow{\rm OC}+\overrightarrow{\rm CD}\) でもよい。
\(\overrightarrow{\rm CE}\) は、\(\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) と
\(\overrightarrow{\rm DE}=\overrightarrow{\rm BA}=-\overrightarrow{\rm AB}=-\overrightarrow{a}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CE}&=&\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm DE}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm BA}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}
\end{eqnarray}\)
※ \(\overrightarrow{\rm CE}=\overrightarrow{\rm CO}+\overrightarrow{\rm OE}\) でもよい。
