- 数学C｜平面上のベクトル「係数の和が一定の範囲の点の存在範囲」の基本例題解説ページです。
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問題｜係数の和が一定の範囲の点の存在範囲
平面上のベクトル 58\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が条件 \(\begin{split}\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\end{split}\)\(s{\small ~≧~}0~,~ t{\small ~≧~}0\) を満たすときの点 \(\rm P\) の存在範囲の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
条件式を満たす点の存在範囲【追加】
Point：条件式を満たす点の存在範囲【追加】
\(\small [\,1\,]\,\,\) \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~s+t=1\)
このとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は直線 \({\rm AB}\) となる。
このとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は線分 \({\rm AB}\) となる。
このとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OAB}\) の周および内部となる。
\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が
\(\small [\,1\,]\,\,\) \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~s+t=1\)
このとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は直線 \({\rm AB}\) となる。
\(\small [\,2\,]\) \(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[2pt]&&s+t=1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
このとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は線分 \({\rm AB}\) となる。
\(\small [\,3\,]\) \(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[2pt]&&0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
このとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OAB}\) の周および内部となる。
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係数の和が一定の範囲の点の存在範囲
Point：係数の和が一定の範囲の点の存在範囲係数の和が一定の範囲をとる点の存在範囲は、
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[3pt]&&0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
のとき、
① 係数の和の上限が \(1\) となるように、\(s^{\prime}~,~t^{\prime}\) をおく。
\(0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(0{\small ~≦~}2s+2t{\small ~≦~}1\) となり、
\(s^{\prime}=2s~,~t^{\prime}=2t\) とおくと、
\(0{\small ~≦~}s^{\prime}+t^{\prime}{\small ~≦~}1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\)
② ベクトル \(\overrightarrow{\rm OP}\) の式の係数が \(s^{\prime}~,~t^{\prime}\) となるように、新たな点 \({\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}}\) をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\end{eqnarray}\)
③ 新たな点 \({\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}}\) を用いて、点 \(\rm P\) の存在範囲を求める。
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&0{\small ~≦~}s^{\prime}+t^{\prime}{\small ~≦~}1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[3pt]&&0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
のとき、
① 係数の和の上限が \(1\) となるように、\(s^{\prime}~,~t^{\prime}\) をおく。
\(0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(0{\small ~≦~}2s+2t{\small ~≦~}1\) となり、
\(s^{\prime}=2s~,~t^{\prime}=2t\) とおくと、
\(0{\small ~≦~}s^{\prime}+t^{\prime}{\small ~≦~}1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\)
② ベクトル \(\overrightarrow{\rm OP}\) の式の係数が \(s^{\prime}~,~t^{\prime}\) となるように、新たな点 \({\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}}\) をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\end{eqnarray}\)
③ 新たな点 \({\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}}\) を用いて、点 \(\rm P\) の存在範囲を求める。
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&0{\small ~≦~}s^{\prime}+t^{\prime}{\small ~≦~}1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部
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詳しい解説｜係数の和が一定の範囲の点の存在範囲
平面上のベクトル 58\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が条件 \(\begin{split}\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\end{split}\)\(s{\small ~≧~}0~,~ t{\small ~≧~}0\) を満たすときの点 \(\rm P\) の存在範囲の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、各辺を \(2\) 倍すると、
\(~~~0{\small ~≦~}2s+2t{\small ~≦~}1\)
ここで、\(s^{\prime}=2s~,~t^{\prime}=2t\) とおくと、
\(~~~0{\small ~≦~}s^{\prime}+t^{\prime}{\small ~≦~}1\)
また、\(s=\displaystyle \frac{\,s^{\prime}\,}{\,2\,}~,~t=\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) より、
\(~~~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\)
次に、\(\overrightarrow{\rm OP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\,\overrightarrow{\rm OA}+t\,\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) をとると、
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&0{\small ~≦~}s^{\prime}+t^{\prime}{\small ~≦~}1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部となる
