- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの垂直と大きさの条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜ベクトルの垂直と大きさの条件
平面上のベクトル 29\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)\) に垂直で大きさが \(\sqrt{10}\) のベクトルの成分の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの垂直と大きさの条件
Point：ベクトルの垂直と大きさの条件
① 求めたいベクトルの成分を、\( \overrightarrow{b}=(x~,~y) \) とおく。
② 垂直条件＝内積が0より、条件式を立てる。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\) より、\(x+2y=0\)
③ 大きさの条件より、条件式を立てる。
\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{10}\) より、\(x^2+y^2=10\)
④ 2つの式を連立して、\(x~,~y\) の値を求める。
\(\left\{~\begin{array}{l}x+2y=0\\x^2+y^2=10\end{array}\right.\)
ベクトルの垂直条件と大きさの条件が与えられたとき、
① 求めたいベクトルの成分を、\( \overrightarrow{b}=(x~,~y) \) とおく。
② 垂直条件＝内積が0より、条件式を立てる。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\) より、\(x+2y=0\)
③ 大きさの条件より、条件式を立てる。
\(|\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{10}\) より、\(x^2+y^2=10\)
④ 2つの式を連立して、\(x~,~y\) の値を求める。
\(\left\{~\begin{array}{l}x+2y=0\\x^2+y^2=10\end{array}\right.\)
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詳しい解説｜ベクトルの垂直と大きさの条件
平面上のベクトル 29
\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)\) に垂直で大きさが \(\sqrt{10}\) のベクトルの成分の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
求めるベクトルを \( \overrightarrow{b}=(x~,~y) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&1{\, \small \times \,}x+2{\, \small \times \,}y
\\[3pt]~~~&=&x+2y=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、大きさが \( \sqrt{10} \) より、 \( |\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{10} \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|=\sqrt{x^2+y^2}&=&\sqrt{10}
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&10~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( x=-2y \) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2y)^2+y^2&=&10
\\[3pt]~~~4y^2+y^2&=&10
\\[3pt]~~~5y^2&=&10
\\[3pt]~~~y^2&=&2
\\[3pt]~~~y&=&\pm\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( x=-2y \) であるので、それぞれの \(y\) の値を代入すると、
\(y=\sqrt{2}\) のとき、\(x=-2\sqrt{2}\)
\(y=-\sqrt{2}\) のとき、\(x=-2{\, \small \times \,}(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\)
したがって、
\((-2\sqrt{2}~,~\sqrt{2})~,~(2\sqrt{2}~,~-\sqrt{2})\) となる
