成分によるベクトルの分解

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。

\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)~,~ \overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)~,~ \overrightarrow{p}=\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]2\end{array}\,\right) \) より、

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\( \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]2\end{array}\,\right)
&=&s\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]4\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}s\\[2pt]2s\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}-3t\\[2pt]4t\end{array}\,\right)\\[5pt]
&=&\left(\,\begin{array}{c}s-3t\\[2pt]2s+4t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)

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\(x\) 成分と \(y\) 成分がそれぞれ等しいことより、

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\(~~~\left\{~\begin{array}{l}6=s-3t\\2=2s+4t\end{array}\right.\)

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下の式の両辺を \(2\) で割ると、

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\(~~~\left\{~\begin{array}{l}s-3t=6 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\s+2t=1 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

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\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
s-3t&=&6 \\
-\big{)}~~s+2t&=&1\\
\hline 0-5t&=&5
\\[2pt] t&=&-1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~s-3{\, \small \times \,}(-1)&=&6
\\[3pt]~~~s+3&=&6
\\[3pt]~~~s&=&3
\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) となる

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※ \(s~,~t\) を答える問題ではないことに注意。

 

※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。