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問題｜ベクトルの等式の証明
平面上のベクトル 37等式 \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\) の証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの等式の証明
Point：ベクトルの等式の証明
① 左辺を内積の性質を用いて計算する。
大きさの2乗は同じベクトルの内積を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\end{eqnarray}\)
② 計算結果が右辺と等しくなることを示す。
ベクトルの等式の証明の手順は、
① 左辺を内積の性質を用いて計算する。
大きさの2乗は同じベクトルの内積を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\end{eqnarray}\)
② 計算結果が右辺と等しくなることを示す。
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詳しい解説｜ベクトルの等式の証明
平面上のベクトル 37
等式 \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\) の証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明] 左辺をそれぞれ展開すると、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
同様に、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、左辺はこれら2つを加えて、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}+|\,\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}+|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2(|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2})
\end{split}\)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\)
[終]
