- 数学C｜平面上のベクトル「ベクトルの大きさ・なす角と内積」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
平面上のベクトル 22\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) で、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(\theta=30^\circ~,~ 90^\circ~,~ 135^\circ~,~ 180^\circ\) のとき、それぞれの内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
ベクトルの大きさ・なす角と内積
Point：ベクトルの大きさ・なす角と内積
\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{0}\) でない2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とするとき、
\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta\end{eqnarray}\)
ただし、\(\theta\) は2つのベクトルの始点をそろえたときの間の角で \(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) である。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
平面上のベクトル 22
\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) で、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(\theta=30^\circ~,~ 90^\circ~,~ 135^\circ~,~ 180^\circ\) のとき、それぞれの内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(\theta=30^\circ\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos30^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&3\sqrt{3}
\end{eqnarray}\)
\(\theta=90^\circ\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos90^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}0
\\[5pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
\(\theta=135^\circ\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos135^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-3\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
\(\theta=180^\circ\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\cos180^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}(-1)
\\[5pt]~~~&=&-6
\end{eqnarray}\)
