- 数学C｜平面上のベクトル「正方形における内積」の基本例題解説ページです。
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問題｜正方形における内積
平面上のベクトル 231辺の長さ \(2\) の正方形 \(\rm ABCD\) において、内積 \(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm BD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm CD}\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
図形における内積
Point：図形における内積
① 2つのベクトルの大きさと始点を揃えたときのなす角を調べる。
\(|{\rm AB}|=2~,~|{\rm BC}|=1\) で
始点を揃えたときのなす角 \(\theta\) は、\(\theta=120^\circ\)
② 大きさ×大きさ×なす角のcosより、内積の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BC}
&=&|{\rm AB}|\,|{\rm BC}|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=-1
\end{eqnarray}\)
図形における内積の値の求め方は、
① 2つのベクトルの大きさと始点を揃えたときのなす角を調べる。
\(|{\rm AB}|=2~,~|{\rm BC}|=1\) で
始点を揃えたときのなす角 \(\theta\) は、\(\theta=120^\circ\)
② 大きさ×大きさ×なす角のcosより、内積の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BC}
&=&|{\rm AB}|\,|{\rm BC}|\cos\theta
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)=-1
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜正方形における内積
平面上のベクトル 23
1辺の長さ \(2\) の正方形 \(\rm ABCD\) において、内積 \(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm BD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm CD}\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
内積 \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}\) は、
\(|{\rm AB}|=2~,~|{\rm AD}|=2\) で、
なす角 \(\theta\) が \(\theta=90^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}
&=&|{\rm AB}|\,|{\rm AD}|\cos 90^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}0
\\[5pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
内積 \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}\) は、
\(|{\rm AB}|=2~,~|{\rm AC}|=2\sqrt{2}\) で、
なす角 \(\theta\) が \(\theta=45^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}
&=&|{\rm AB}|\,|{\rm AC}|\cos 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&4
\end{eqnarray}\)
内積 \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BD}\) は、
\(|{\rm AB}|=2~,~|{\rm BD}|=2\sqrt{2}\) で、
なす角 \(\theta\) は、\(\overrightarrow{\rm BD}\) の始点を \({\rm A}\) に平行移動したときの間の角となるので、\(\theta=135^\circ\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BD}
&=&|{\rm AB}|\,|{\rm BD}|\cos 135^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-4
\end{eqnarray}\)
内積 \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}\) は、
\(|{\rm AB}|=2~,~|{\rm CD}|=2\) で、
なす角 \(\theta\) は、\(\overrightarrow{\rm CD}\) の始点を \({\rm A}\) に平行移動したときの間の角となるので、\(\theta=180^\circ\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}
&=&|{\rm AB}|\,|{\rm CD}|\cos 180^\circ
\\[5pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}(-1)
\\[5pt]~~~&=&-4
\end{eqnarray}\)
