- 数学C｜平面上のベクトル「内積の性質と大きさの2乗」の基本例題解説ページです。
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問題｜内積の性質と大きさの2乗
平面上のベクトル 32内積の性質を利用した \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\) や \(|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2\) の計算方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
内積の性質と大きさの2乗
Point：内積の性質と大きさの2乗
\(\small [\,1\,]\) 交換法則 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)
\(\small [\,2\,]\) 分配法則
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\) \(k\) を実数として、
\(\begin{eqnarray}~~~(k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{c})=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\) 同じベクトルの内積
\(~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}\)
同じベクトルの内積として計算する。
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
■ 内積の性質
\(\small [\,1\,]\) 交換法則 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)
\(\small [\,2\,]\) 分配法則
\(\begin{eqnarray}~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}
\\[3pt]~~~\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\) \(k\) を実数として、
\(\begin{eqnarray}~~~(k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{c})=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\) 同じベクトルの内積
\(~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}\)
■ 大きさの2乗 \(|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}\) の計算
同じベクトルの内積として計算する。
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
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詳しい解説｜内積の性質と大きさの2乗
平面上のベクトル 32
内積の性質を利用した \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\) や \(|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2\) の計算方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
内積の分配法則より、
\(\begin{split}&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}-|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
内積の交換法則 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\) と、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}\) 、\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}\) を用いて計算を進める。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}\) 、\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}\) を用いて計算を進める。
大きさの2乗は同じベクトルの内積となり、内積の分配法則より、
\(\begin{split}&|\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})+2\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})
\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}
\end{split}\)
