等式の証明

2018.04.182020.06.09

等式の証明のやり方
問題解説：等式の証明
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

等式の証明のやり方

Point：等式の証明等式 ${\rm A}={\rm B}$ の証明の解法
・解法パターン１
$ {\rm A}$ を計算していき ${\rm B}$ にする方法

$${\rm A}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm B}$$

よって、${\rm A}={\rm B}$ となります。

逆に、${\rm B}$ を計算していき ${\rm A}$ にしても証明できます。

$${\rm B}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm A}$$

よって、${\rm A}={\rm B}$ となります。

・解法パターン２
${\rm A}$ と ${\rm B}$ をそれぞれ計算していき、同じ式 ${\rm C}$ にする方法

$${\rm A}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm C}$$$$~~~{\rm B}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm C}$$

よって、${\rm A}={\rm C}$ と ${\rm B}={\rm C}$ が成り立つことより、${\rm A}={\rm B}$ となります。

・解法パターン３
${\rm A}-{\rm B}$ を計算する方法

$${\rm A}-{\rm B}=\cdot~\cdot~\cdot=0$$

よって、${\rm A}-{\rm B}=0$ が成り立つので、${\rm A}={\rm B}$ となります。

問題解説：等式の証明

問題解説(1)

問題次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~ (x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+xy(x+y)$$

[証明]
　　(左辺)
$$~=(x+y)(x^2+y^2)$$$$~=x^3+xy^2+yx^2+y^3$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
　　(右辺)
$$~=x^3+y^3+xy(x+y)$$$$~=x^3+y^3+x^2y+xy^2$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
したがって、(左辺)＝(右辺)となることより、$$~~~(x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+xy(x+y)$$[終]

問題解説(2)

問題次の等式を証明せよ。$${\small (2)}~ a^5-b^5$$$$~~~~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$

[証明]
　　(右辺)
$$~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$$$~=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4$$$$~~~~~~~~-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5$$$$~=a^5-b^5$$
したがって、(左辺)＝(右辺)となることより、$$~~~a^5-b^5$$$$~~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$[終]