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比例式と等式証明

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今回の問題は「比例式と等式の証明」です。

問題\({\Large \frac{a}{b}}={\Large \frac{c}{d}}\) とするとき、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$$${\small (2)}~\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$$

 

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比例式と等式の証明のやり方

Point:比例式と等式の証明分数式が条件式であるとき、
この条件式を、実数 \(k\) を用いて、$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$このようにすると、

$$\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$

この2つの式を利用して等式を証明していきましょう。
 
また、\(a~:~b~:~c=l~:~m~:~n\) のときも、実数 \(k\) を用いて、

$$a=kl~,~b=km~,~c=kn$$

これら3つの式を利用して証明していきます。

 

問題解説:比例式と等式の証明

問題解説(1)

問題\({\Large \frac{a}{b}}={\Large \frac{c}{d}}\) とするとき、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$

[証明]
実数 \(k\) を用いて、$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、
  (左辺)$$~=\frac{a+c}{b+d}$$
ここに、\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb+kd}{b+d}$$$$~=\frac{k(b+d)}{b+d}$$$$~=k$$
  (右辺)$$~=\frac{c}{d}$$ここに、\(c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kd}{d}$$$$~=k$$
よって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$[終]

 

問題解説(2)

問題\({\Large \frac{a}{b}}={\Large \frac{c}{d}}\) とするとき、次の等式を証明せよ。$${\small (2)}~\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$$

[証明]
実数 \(k\) を用いて、$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、
  (左辺)$$~=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{(kb)^2+(kd)^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2b^2+k^2d^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}$$$$~=k^2$$
  (右辺)$$~=\frac{ac}{bd}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb\cdot kd}{bd}$$$$~=\frac{k^2bd}{bd}$$$$~=k^2$$
よって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$$[終]

 

今回のまとめ

比例式が条件となっているときは、その比例式の使い方に注意し証明をしていきましょう。

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