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不等式の証明①(条件付き)

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今回の問題は「不等式の証明①(条件付き)」です。

不等式の証明①(条件付き)

問題次の不等式を証明せよ。
\({\small (1)}~a>1~,~b>2\) のとき、$$~~~~~~ab+2>2a+b$$ \({\small (2)}~a>b~,~c>d\) のとき、$$~~~~~~ac+bd>ad+bc$$

 

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条件付きの不等式の証明のやり方

Point:条件付きの不等式の証明不等式 \({\rm A}>{\rm B}\) を証明
\( {\rm A}-{\rm B}\) を考えて計算していき、

$${\rm A}-{\rm B}>0$$

これが示せれば、 \({\rm A}>{\rm B}\) を証明できます。

 

問題解説:不等式の証明①(条件付き)

問題解説(1)

問題次の不等式を証明せよ。
\({\small (1)}~a>1~,~b>2\) のとき、$$~~~~~~ab+2>2a+b$$

[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(ab+2)-(2a+b)$$$$~=ab+2-2a-b$$\(a\) について整理すると、$$~=(b-2)a-b+2$$$$~=(b-2)a-(b-2)$$$$~=(b-2)(a-1)$$$$~=(a-1)(b-2)$$ここで、問題文より \(a>1~,~b>2\) であることより、
\(a>1\) すなわち \(a-1>0\)
\(b>2\) すなわち \(b-2>0\)
 
したがって、\((a-1)(b-2)>0\) となります
よって、\((ab+2)-(2a+b)>0\) となるので$$~~~ab+2>2a+b$$[終]

 

問題解説(2)

問題次の不等式を証明せよ。
\({\small (2)}~a>b~,~c>d\) のとき、$$~~~~~~ac+bd>ad+bc$$

[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(ac+bd)-(ad+bc)$$$$~=ac+bd-ad-bc$$\(a\) について整理すると、$$~=ac-ad-bc+bd$$$$~=(c-d)a-b(c-d)$$$$~=(c-d)(a-b)$$$$~=(a-b)(c-d)$$ここで、問題文より \(a>b~,~c>d\) であることより、
\(a>b\) すなわち \(a-b>0\)
\(c>d\) すなわち \(c-d>0\)
 
したがって、\((a-b)(c-d)>0\) となります
よって、\((ac+bd)-(ad+bc)\) となるので$$~~~ac+bd>ad+bc$$[終]

 

今回のまとめ

不等式の証明の基本解法を見ていきました。次回からは様々なパターンが出てきますので、今回の基本を覚えておきましょう。

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