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不等式の証明②(2次式)

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今回の問題は「不等式の証明②(2次式)」です。

問題次の不等式を証明せよ。また、等号が成立するときの条件も答えよ。$${\small (1)}~x^2+y^2≧2xy$$$${\small (2)}~x^2+3xy+3y^2≧0$$$${\small (3)}~x^2-6xy+10y^2≧4y-4$$

 

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2次式を用いる不等式の証明のやり方

Point:2次式を用いる不等式の証明2次式を用いる不等式の証明は、次の2つの式の性質を利用して証明しましょう。
 
【性質①】

$${\rm A}^2≧0$$

等号が成立するのは、\({\rm A}=0\) のとき
 
【性質②】

$${\rm A}^2+{\rm B}^2≧0$$

等号が成立するのは、\({\rm A}={\rm B}=0\) のとき
 
よって、不等式を(左辺)−(右辺)にして計算し、①か②のどちらかの形にするために「因数分解」または「平方完成」を用いて式変形しましょう。
また、等号が成立するときの条件も合わせて覚えておきましょう。

 

問題解説:不等式の証明②(2次式)

問題解説(1)

問題次の不等式を証明せよ。また、等号が成立するときの条件も答えよ。$${\small (1)}~x^2+y^2≧2xy$$

[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(x^2+y^2)-2xy$$$$~=x^2-2xy+y^2$$因数分解すると、$$~=(x-y)^2$$\({\rm A}^2≧0\) となることより、$$~=(x-y)^2≧0~\cdots{\large ①}$$よって、$$~~~(x^2+y^2)-2xy≧0$$ゆえに、$$~~~x^2+y^2≧2xy$$が成り立つ
また、等号が成立するのは①の式より、$$~~~x-y=0$$すなわち \(x=y\) のときである
[終]

 

問題解説(2)

問題次の不等式を証明せよ。また、等号が成立するときの条件も答えよ。$${\small (2)}~x^2+3xy+3y^2≧0$$

[証明]
  (左辺)$$~=x^2+3xy+3y^2$$\(x\) について整理し、平方完成すると、$$~=x^2+3yx+3y^2$$$$~=x^2+3yx+\left(\frac{3y}{2}\right)^2-\left(\frac{3y}{2}\right)^2+3y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2-\frac{9}{4}y^2+3y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2-\frac{9}{4}y^2+\frac{12}{4}y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2$$ここで、\({\rm A}^2+{\rm B}^2≧0\) となるとこより、$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2≧0~\cdots{\large ①}$$よって、$$~~~x^2+3xy+3y^2≧0$$が成り立つ
また、等号が成立するのは①の式より、$$~~~x+\frac{3}{2}y=0$$  かつ$$~~~y=0$$\(y=0\) を \(x+{\Large\frac{3}{2}}y=0\) に代入すると、$$~~~x=0$$よって、\(x=y=0\) のときである
[終]

 

問題解説(3)

問題次の不等式を証明せよ。また、等号が成立するときの条件も答えよ。$${\small (3)}~x^2-6xy+10y^2≧4y-4$$

[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~=(x^2-6xy+10y^2)-(4y-4)$$$$~=x^2-6xy+10y^2-4y+4$$\(x\) について整理し、平方完成すると、$$~=x^2-6yx+10y^2-4y+4$$$$~=x^2-6yx+(-3y)^2-(-3y)^2$$$$\hspace{78pt}+10y^2-4y+4$$$$~=(x-3y)^2-9y^2+10y^2-4y+4$$$$~=(x-3y)^2+y^2-4y+4$$後半部分を \(y\) について因数分解すると、$$~=(x-3y)^2+(y-2)^2$$ここで、\({\rm A}^2+{\rm B}^2≧0\) となるとこより、$$~=(x-3y)^2+(y-2)2≧0~\cdots {\large ①}$$よって、$$~~~(x^2-6xy+10y^2)-(4y-4)≧0$$ゆえに、$$~~~x^2-6xy+10y^2≧4y-4$$が成り立つ
また、等号が成立するのは①の式より、$$~~~x-3y=0$$  かつ$$~~~y-2=0$$
\(y-2=0\) より、$$~~~y=2$$\(x-3y=0\) に代入して、$$~~~x=6$$よって、\(x=6~,~y=2\) のときである
[終]

 

今回のまとめ

2次式を用いる不等式の証明は、平方完成や因数分解を用いて計算していきましょう。また、証明に用いた2つの不等式とその等号が成立する条件はしっかりと覚えておきましょう。

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