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不等式の証明③(平方根)

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今回の問題は「不等式の証明③(平方根)」です。

問題\(a≧0~,~b≧0\) のとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧\sqrt{25a+9b}$$

 

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平方根を含む不等式の証明のやり方

Point:平方根を含む不等式の証明平方根を含む不等式の証明は、
\({\rm A}≧0~,~{\rm B}≧0\) のとき、

$${\rm A}≧{\rm B}~\Leftrightarrow~{\rm A}^2≧{\rm B}^2$$

この性質を利用して、証明していきましょう。
 
・平方根の性質
\({\rm A}≧0\) のとき、\(\sqrt{{\rm A}}≧0\)
この性質は証明で良く使いますので覚えておきましょう。

 

問題解説:不等式の証明③(平方根)

問題\(a≧0~,~b≧0\) のとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧\sqrt{25a+9b}$$

[証明]
\(5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧0~,~\sqrt{25a+9b}≧0\) より、
平方の差 (左辺)2-(右辺)2 を考えると、$$~~~~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2-(\sqrt{25a+9b})^2$$$$~=(5\sqrt{a})^2+2\cdot 5\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b}$$$$\hspace{50pt}+(3\sqrt{b})^2-(25a+9b)$$$$~=25a+30\sqrt{a}\sqrt{b}+9b-(25a+9b)$$$$~=25a+30\sqrt{ab}+9b-25a-9b$$$$~=30\sqrt{ab}$$ここで、平方根の性質 \(\sqrt{{\rm A}}≧0\) より$$~=30\sqrt{ab}≧0$$よって、$$~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2-(\sqrt{25a+9b})^2≧0$$ゆえに、$$~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2≧(\sqrt{25a+9b})^2$$が成り立つ
ここで、\({\rm A}≧0~,~{\rm B}≧0\) のとき、\({\rm A}^2≧{\rm B}^2~\Leftrightarrow~{\rm A}≧{\rm B}\) より$$~~~5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧\sqrt{25a+9b}$$[終]

 

今回のまとめ

平方根を含む不等式の証明は、(左辺)²-(右辺)² を考えて計算していきましょう。また、平方根の性質も使えるように覚えておきましょう。

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