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整式の割り算

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今回の問題は「整式の割り算」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x^3-8x-8\) を \(x^2-3x+1\) で割ったときの商と余りを求めよ。
\({\small (2)}~\)\(x^3-6x^2y+10xy^2-8y^3\) を \(x^2-5xy+y^2\) で割ったときの商と余りを求めよ。
\({\small (3)}~\)\(2x^3-7x^2+7x-4\) をある整式で割ったときの商が \(2x-1\)、余りが \(-2\) のとき、この整式を求めよ。

 

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整式の割り算のやり方

Point:整式の割り算整式 \(A(x)\) を整式 \(B(x)\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R(x)\) とすると、
(割られる式)=(割る式)×(商)+(余り)
これより、

$$A(x)=B(x) \times Q(x)+R(x)$$

また、\(R(x)\) の次数は \(B(x)\) の次数より低くなります。

 

問題解説:整式の割り算

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x^3-8x-8\) を \(x^2-3x+1\) で割ったときの商と余りを求めよ。

\(x^3-8x-8\) を \(x^2-3x+1\) で割る式を筆算で表すと、
 
\( \hspace{54pt}\underline{~x~~+3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\)
\( x^2-3x+1)x^3~~~~~~~~~-8x-8\)
\(\hspace{42pt}-) \underline{x^3-3x^2+x~~~~~~~}\)
\(\hspace{72pt}3x^2-9x-8\)
\(\hspace{60pt}-)\underline{3x^2-9x+3~~}\)
\(\hspace{110pt}-11\)
 
よって、商は \(x+3\)、余りは \(-11\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)\(x^3-6x^2y+10xy^2-8y^3\) を \(x^2-5xy+y^2\) で割ったときの商と余りを求めよ。

\(x\) と \(y\) の2つの文字があるときは、1つの文字 \(x\) について整理して、\(x\) の式として割り算をしましょう。$$~~~~~~x^3-6x^2y+10xy^2-8y^3$$$$~=x^3-6yx^2+10y^2x-8y^3$$$$~~~~~~x^2-5xy+y^2$$$$~=x^2-5yx+y^2$$これより、\(x^3-6yx^2+10y^2x-8y^3\) を \(x^2-5yx+y^2\) で割る式を筆算で表すと、
 
\( \hspace{64pt}\underline{x~~-y\hspace{80pt}}\)
\( x^2-5yx+y^2)x^3-6yx^2+10y^2x-8y^3\)
\(\hspace{52pt}-) \underline{x^3-5yx^2+y^2x~~~~~~~~~}\)
\(\hspace{80pt}-yx^2+9y^2x-8y^2\)
\(\hspace{69pt}-)\underline{-yx^2+5y^2x-y^2~~~~}\)
\(\hspace{115pt}4y^2x-7y^3\)
 
よって、商は \(x-y\)、余りは \(4xy^2-7y^3\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (3)}~\)\(2x^3-7x^2+7x-4\) をある整式で割ったときの商が \(2x-1\)、余りが \(-2\) のとき、この整式を求めよ。

\(A(x)=2x^3-7x^2+7x-4\)、商を \(Q(x)=2x-1\)、余りを \(R(x)=-2\) とし、割る式を \(B(x)\) とすると、$$~~~A(x)=B(x) \times Q(x)+R(x)$$が成り立つことより、
$$~~~2x^3-7x^2+7x-4=B(x) \cdot (2x-1)-2$$$$~~~2x^3-7x^2+7x-4+2=B(x) \cdot (2x-1)$$$$~~~2x^3-7x^2+7x-2=B(x) \cdot (2x-1)$$したがって、\(B(x)\) は \(2x^3-7x^2+7x-2\) を \(2x-1\) で割れば求まるので、
 
\( \hspace{32pt}\underline{~x^2~~-3x~~+2\hspace{26pt}}\)
\( 2x-1)2x^3-7x^2+7x-2\)
\(\hspace{20pt}-) \underline{2x^3-x^2\hspace{50pt}}\)
\(\hspace{52pt}-6x^2+7x-2\)
\(\hspace{39pt}-)\underline{-6x^2+3x~~~~~~~~~}\)
\(\hspace{86pt}4x-2\)
\(\hspace{74pt}-)\underline{4x-2~~}\)
\(\hspace{110pt}0\)
 
したがって、\(B(x)=x^2-3x+2\) となります。

 

今回のまとめ

整式の割り算はまずは筆算ができるように練習しましょう。また、割り算についての等式も使えるように覚えましょう。

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