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二項定理の利用

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今回の問題は「二項定理の利用」です。

問題\((1+x)^n\) の展開式を利用して、次の等式が成り立つことを証明せよ。$${\small (1)}~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}=2^n$$$${\small (2)}~{}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots$$$$\hspace{70pt }+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}=0$$

 

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二項定理の利用した証明

Point:二項定理の利用\((1+x)^n\) の展開式を二項定理より求めると、

$$~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{50pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n~~~$$

この式において、\(x\) の値に様々な数値を代入するといろいろな等式が得られます。

 

問題解説:二項定理の利用

問題解説(1)

問題\((1+x)^n\) の展開式を利用して、次の等式が成り立つことを証明せよ。$${\small (1)}~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}=2^n$$

[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1+1)^n=2^n$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot 1+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot 1^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot 1^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}=2^n$$[終]

 

問題解説(2)

問題\((1+x)^n\) の展開式を利用して、次の等式が成り立つことを証明せよ。$${\small (2)}~{}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots$$$$\hspace{70pt }+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}=0$$

[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=-1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1-1)^n=0$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot (-1)$$$$\hspace{45pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot (-1)^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot (-1)^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}=0$$[終]

 

今回のまとめ

二項定理を用いた等式の証明は、\((1+x)^n\) の展開式を利用し\(x\) の値に様々な数値を代入することで証明できます。特に今回の問題は2つともよく出題されるのでそのまま覚えておきましょう。

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