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通分を用いる分数式の計算

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今回の問題は「通分を用いる分数式の計算」です。

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (1)}~\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}$$$$~~{\small (2)}~\frac{1}{x(x+1)}+ \frac{1}{(x+1)(x+2)}$$

 

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通分を用いる分数式の計算方法

Point:通分を用いる分数式の計算分数式同士の和・差は分母を通分して計算します。$$~~~~~~\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$通分すると、$$~=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}$$$$~=\frac{y+x}{xy}$$$$~=\frac{x+y}{xy}$$
\(x~,~y\) のように分母が単項式でなく多項式の場合でも同様に通分して計算できます。

 

問題解説:通分を用いる分数式の計算

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (1)}~\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}$$

$$~~~~~~\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}$$\((x-2)(x+3)\) で通分すると、$$~=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)}-\frac{x-2}{(x-2)(x+3)}$$$$~=\frac{(x+3)-(x-2)}{(x-2)(x+3)}$$$$~=\frac{x+3-x+2}{(x-2)(x+3)}$$$$~=\frac{5}{(x-2)(x+3)}$$
よって、答えは \({\Large \frac{5}{(x-2)(x+3)}}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (2)}~\frac{1}{x(x+1)}+ \frac{1}{(x+1)(x+2)}$$

$$~~~~~~\frac{1}{x(x+1)}+ \frac{1}{(x+1)(x+2)}$$\(x(x+1)(x+2)\) で通分すると、$$~=\frac{x+2}{x(x+1)(x+2)}+\frac{x}{x(x+1)(x+2)}$$$$~=\frac{(x+2)+x}{x(x+1)(x+2)}$$$$~=\frac{x+2+x}{x(x+1)(x+2)}$$$$~=\frac{2x+2}{x(x+1)(x+2)}$$$$~=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)}$$ここで、\((x+1)\) を共通因数として約分すると、$$~=\frac{2}{x(x+2)}$$これ以上約分できません。
よって、答えは \({\Large \frac{2}{x(x+2)}}\) となります。

 

今回のまとめ

通分が必要な分数式の計算は式が複雑になるので計算ミスに注意しましょう。また、答えは必ず既約分数式で表すのを忘れないようにしましょう。

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