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分母や分子に分数式を含む式

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今回の問題は「分母や分子に分数式を含む式」です。

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (1)}~\frac{1+{\Large \frac{1}{x}}}{x-{\Large \frac{1}{x}}}$$$$~~{\small (2)}~\frac{1+{\Large \frac{y}{x-y}}}{1-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$

 

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分母や分子に分数式を含む式の解法

Point:分母や分子に分数式を含む式分数式の分母や分子にさらに分数式を含む式の解法は、
・解法パターン1
分母分子の中の分数式を通分して計算する。
 
・解法パターン2
全体の分数式の分母分子に値をかけて分数式をなくす計算をします。

 

問題解説:分母や分子に分数式を含む式

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (1)}~\frac{1+{\Large \frac{1}{x}}}{x-{\Large \frac{1}{x}}}$$

・解法パターン1
通分を用いて計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{1}{x}}}{x-{\Large \frac{1}{x}}}$$分母分子の分数式をそれぞれ通分して計算すると、$$~=\frac{{\Large \frac{x}{x}}+{\Large \frac{1}{x}}}{{\Large \frac{x^2}{x}}-{\Large \frac{1}{x}}}$$$$~=\frac{{\Large \frac{x+1}{x}}}{{\Large \frac{x^2-1}{x}}}$$この式を割り算にすると、$$~=\frac{x+1}{x}\div \frac{x^2-1}{x}$$かけ算にすると、逆数になるので、$$~=\frac{x+1}{x}\times \frac{x}{x^2-1}$$分母を因数分解すると、$$~=\frac{x+1}{x}\times \frac{x}{(x-1)(x+1)}$$\(x~,~(x+1)\) を共通因数として約分すると、$$~=\frac{1}{x-1}$$
よって、答えは \({\Large \frac{1}{x-1}}\) となります。
 
・解法パターン2
分母分子に値をかける方法で計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{1}{x}}}{x-{\Large \frac{1}{x}}}$$分母分子に \(x\) をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\Large \frac{1}{x}}\right) \times x}{\left(x-{\Large \frac{1}{x}}\right) \times x}$$$$~=\frac{x+1}{x^2-1}$$分母を因数分解すると、$$~=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$$\((x+1)\) を共通因数として約分すると、$$~=\frac{1}{x-1}$$
よって、答えは \({\Large \frac{1}{x-1}}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (2)}~\frac{1+{\Large \frac{y}{x-y}}}{1-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$

・解法パターン1
通分を用いて計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{y}{x-y}}}{1-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$分母分子の分数式をそれぞれ通分して計算すると、$$~=\frac{{\Large \frac{x-y}{x-y}}+{\Large \frac{y}{x-y}}}{{\Large \frac{x-y}{x-y}}-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$$$~=\frac{{\Large \frac{x-y+y}{x-y}}}{{\Large \frac{x-y-x}{x-y}}}$$$$~=\frac{{\Large \frac{x}{x-y}}}{{\Large \frac{-y}{x-y}}}$$この式を割り算にすると、$$~=\frac{x}{x-y}\div \left(- \frac{y}{x-y} \right)$$かけ算にすると、逆数になるので、$$~=\frac{x}{x-y}\times \left(- \frac{x-y}{y} \right)$$\(x-y\) を共通因数として約分すると、$$~=-\frac{x}{y}$$
よって、答えは \({\Large -\frac{x}{y}}\) となります。
 
・解法パターン2
分母分子に値をかける方法で計算しましょう。$$~~~~~~\frac{1+{\Large \frac{y}{x-y}}}{1-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$分母分子に \(x-y\) をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\Large \frac{y}{x-y}}\right) \times (x-y)}{\left(1-{\Large \frac{x}{x-y}}\right) \times (x-y)}$$\(x-y\) を分配して展開すると、$$~=\frac{1\cdot (x-y)+{\Large \frac{y}{x-y}}\cdot (x-y)}{1\cdot (x-y)-{\Large \frac{x}{x-y}}\cdot (x-y)}$$$$~=\frac{(x-y)+y}{(x-y)-x}$$$$~=\frac{x}{-y}$$$$~=-\frac{x}{y}$$
よって、答えは \({\Large -\frac{x}{y}}\) となります。

 

今回のまとめ

繁分数式はどちらの解法でも計算が複雑になります。計算ミスをしないように丁寧に計算していきましょう。

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