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除法の性質

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今回の問題は「除法の性質」です。

問題\(a~,~b\) を整数として、\(a\) を \(5\) で割ったときの余りが \(2\) 、\(b\) を \(5\) で割ったときの余りが \(3\) のとき、次の値を \(5\) で割ったときの余りを求めよ。$${\small (1)}~a+b$$$${\small (2)}~2a+b$$$${\small (3)}~a^2+b^2$$

 

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整数の除法の商と余りの性質

Point:除法の性質整数 \(a\) を整数 \(b~(b>0)\) で割ったときの商を \(q\) 、余りを \(r\) とすると、

$$a=b\cdot q+r~~~(0≦r<b)$$

この式で、ただ1通りで表すことができます。
この式を用いて計算しましょう。

 

問題解説:除法の性質

問題解説(1)

問題\(a~,~b\) を整数として、\(a\) を \(5\) で割ったときの余りが \(2\) 、\(b\) を \(5\) で割ったときの余りが \(3\) のとき、次の値を \(5\) で割ったときの余りを求めよ。$${\small (1)}~a+b$$

\(a~,~b\) は整数 \(m~,~n\) を用いると、
\(a\) は \(5\) で割ったときの余りが \(2\) より、$$~~~a=5m+2~~\cdots{\large ①}$$\(b\) は \(5\) で割ったときの余りが \(3\) より、$$~~~b=5n+3~~\cdots{\large ②}$$と表すことができます。
次に \(a+b\) に①、②を代入すると、$$~~~~~~a+b$$$$~=(5m+2)+(5n+3)$$$$~=5m+2+5n+3$$$$~=5m+5n+5$$\(5\) でくくると、$$~=5(m+n+1)$$ここで、\(m~,~n\) は整数より、\(m+n+1\) は整数となります。
よって、\(5(m+n+1)\) は5の倍数となります。
 
したがって、
\(a+b\) を \(5\) で割ったときの余りは \(0\)
となります。

 

問題解説(2)

問題\(a~,~b\) を整数として、\(a\) を \(5\) で割ったときの余りが \(2\) 、\(b\) を \(5\) で割ったときの余りが \(3\) のとき、次の値を \(5\) で割ったときの余りを求めよ。$${\small (2)}~2a+b$$

\(2a+b\) に①、②を代入すると、$$~~~~~~2a+b$$$$~=2(5m+2)+(5n+3)$$$$~=10m+4+5n+3$$$$~=10n+5n+7$$\(7=5+2\) と式変形をして、\(5\) でくくると、$$~=10m+5n+5+2$$$$~=5(2m+n+1)+2$$ここで、\(m~,~n\) は整数より、\(2m+n+1\) は整数となります。
よって、\(5(2m+n+1)+2\) は \(5\) で割ると \(2\) 余ります。
 
したがって、答えは
\(2a+b\) を \(5\) で割った余りは \(2\)
となります。

 

問題解説(3)

問題\(a~,~b\) を整数として、\(a\) を \(5\) で割ったときの余りが \(2\) 、\(b\) を \(5\) で割ったときの余りが \(3\) のとき、次の値を \(5\) で割ったときの余りを求めよ。$${\small (3)}~a^2+b^2$$

\(a^2+b^2\) に①、②を代入すると、$$~~~~~~a^2+b^2$$$$~=(5m+2)^2+(5n+3)^2$$$$~=25m^2+20m+4+25n^2+30n+9$$$$~=25m^2+20m+25n^2+30n+13$$\(13=10+3\) と式変形をして、\(5\) でくくると、$$~=25m^2+20m+25n^2+30n+10+3$$$$~=5(5m^2+4m+5n^2+6n+2)+3$$ここで、\(m~,~n\) は整数より、\(5m^2+4m+5n^2+6n+2\) は整数となります。
よって、\(5(5m^2+4m+5n^2+6n+2)+3\) は \(5\) で割ると \(3\) 余ります。
 
したがって、答えは
\(a^2+b^2\) を \(5\) で割った余りは \(3\)
となります。

 

今回のまとめ

整数の除法と商と余りの性質を利用した計算は、条件式を代入して計算していきましょう。また、割ったときの余りを求める式変形の方法もおさえておきましょう。

【問題一覧】数学A:整数の性質
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