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整数の分類と証明

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今回の問題は「整数の分類と証明」です。

問題整数 \(n\) が \(3\) で割り切れないとき、\(n^2\) を \(3\) で割ったときの余りが \(1\) となることを示せ。

 

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余りによる整数の分類

Point:余りによる整数の分類ある正の整数 \(m\) で整数を割ったときの余りは、$$~~~0~,~1~,~2~,~\cdots~,~m-1$$のいずれかになるので、整数 \(k\) を用いてこの整数 \(n\) を表すと、

$$~mk~,~mk+1~,~mk+2~,$$$$~~~~~~~~~\cdots~,~mk+(m-1)~$$

と表すことができます。
 
例えば、
\(2\) で割ったときの余りによる分類は、整数 \(k\) を用いると、余りが \(0~,~1\) となるので、$$~~~2k~,~2k+1$$と表すことができます。
 
\(3\) で割ったときの余りによる分類は、整数 \(k\) を用いると、余りが \(0~,~1~,~2\) となるので、$$~~~3k~,~3k+1~,~3k+2$$と表すことができます。
 
\(4\) で割ったときの余りによる分類は、整数 \(k\) を用いると、余りが \(0~,~1~,~2~,~3\) となるので、$$~~~4k~,~4k+1~,~4k+2~,~4k+4$$と表すことができます。

 

問題解説:整数の分類と証明

問題整数 \(n\) が \(3\) で割り切れないとき、\(n^2\) を \(3\) で割ったときの余りが \(1\) となることを示せ。

[証明]
整数 \(n\) は \(3\) で割り切れないので、整数 \(k\) を用いて次のように表すことができます。$$~~~n=3k+1~,~n=3k+2$$
( ⅰ ) \(n=3k+1\) のとき$$~~~~~~n^2$$$$~=(3k+1)^2$$$$~=9k^2+6k+1$$\(3\) でくくると、$$~=3(3k^2+2k)+1$$よって、\(3k^2+2k\) は整数であるので \(3\) で割ると \(1\) 余ります。
 
( ⅱ ) \(n=3k+2\) のとき$$~~~~~~n^2$$$$~=(3k+2)^2$$$$~=9k^2+12k+4$$\(3\) でくくるために式変形をして、\(3\) でくくると、$$~=9k^2+12k+3+1$$$$~=3(3k^2+4k+1)+1$$よって、\(3k^2+4k+1\) は整数であるので \(3\) で割ると \(1\) 余ります。
 
( ⅰ )と( ⅱ )より、
整数 \(n\) が \(3\) で割り切れないとき、\(n^2\) を \(3\) で割ったときの余りが \(1\) となります。[終]

 

今回のまとめ

整数の余りによる分類は、その分け方の方法と問題に対する応用方法をおさえておきましょう。

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