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分数と小数

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今回の問題は「分数と小数」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の分数を小数で表せ。$$~{\large ①}~~\frac{3}{11}~~~~~~{\large ②}~~\frac{3}{4}$$\({\small (2)}\) 次の分数を有限小数と循環小数に分類せよ。$$~~~\frac{5}{12}~,~\frac{7}{8}~,~\frac{8}{15}~,~\frac{9}{20}$$

 

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分数と小数の解法

Point:循環小数の表し方循環小数は繰り返される部分の最初と最後の数の上に・を付けて表します。
 
例えば、$$~~~0.333\cdots=0.\dot{3}$$$$~~~0.121212\cdots=0.\dot{1}\dot{2}$$$$~~~0.345345\cdots=0.\dot{3}\dot{4}\dot{5}$$

Point:有限小数と循環小数の判別

与えられた分数が有限小数か循環小数かの判別をする方法は、まず分母を素因数分解します。
( ⅰ ) 分母の素因数が \(2~,~5\) だけのとき
\(~\Leftrightarrow~\) 有限小数となります。
 
( ⅱ ) 分母の素因数が \(2~,~5\) 以外の数があるとき
\(~\Leftrightarrow~\) 循環小数となります。

 

問題解説:分数と小数

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の分数を小数で表せ。$$~{\large ①}~~\frac{3}{11}~~~~~~{\large ②}~~\frac{3}{4}$$

$${\large ①}~~\frac{3}{11}$$\(3\div11\) を計算すると、$$\hspace{ 10 pt}3\div11=0.2727\cdots$$よって、答えは$$~~~0.\dot{2}\dot{7}$$となります。

$${\large ②}~~\frac{3}{4}$$\(3\div4\) を計算すると、$$\hspace{ 10 pt}3\div4=0.75\cdots$$よって、答えは$$~~~0.75$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) 次の分数を有限小数と循環小数に分類せよ。$$~~~\frac{5}{12}~,~\frac{7}{8}~,~\frac{8}{15}~,~\frac{9}{20}$$

\({\large \frac{5}{12}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~12=2^2\times3$$これより、素因数に \(2~,~5\) 以外の数があるので、循環小数となります。
 
\({\large \frac{7}{8}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~8=2^3$$これより、素因数に \(2~,~5\) だけになるので、有限小数となります。
 
\({\large \frac{8}{15}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~15=3\times5$$これより、素因数に \(2~,~5\) 以外の数があるので、循環小数となります。
 
\({\large \frac{9}{20}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~20=2^2\times5$$これより、素因数に \(2~,~5\) だけになるので、有限小数となります。
 
よって、答えは
有限小数は$$~~~\frac{7}{8}~,~\frac{9}{20}$$循環小数は$$~~~\frac{5}{12}~,~\frac{8}{15}$$となります。

 

今回のまとめ

循環小数についての表し方は・の付け方に注意しましょう。また、有限小数と循環小数の判別は分母を素因数分解する方法を覚えておきましょう。

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