分数と小数の解法
例えば、$$~~~0.333\cdots=0.\dot{3}$$$$~~~0.121212\cdots=0.\dot{1}\dot{2}$$$$~~~0.345345\cdots=0.\dot{3}\dot{4}\dot{5}$$
与えられた分数が有限小数か循環小数かの判別をする方法は、まず分母を素因数分解します。
( ⅰ ) 分母の素因数が \(2~,~5\) だけのとき
\(~\Leftrightarrow~\) 有限小数となります。
( ⅱ ) 分母の素因数が \(2~,~5\) 以外の数があるとき
\(~\Leftrightarrow~\) 循環小数となります。
問題解説：分数と小数
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 次の分数を小数で表せ。$$~{\large ①}~~\frac{3}{11}~~~~~~{\large ②}~~\frac{3}{4}$$
$${\large ①}~~\frac{3}{11}$$\(3\div11\) を計算すると、$$\hspace{ 10 pt}3\div11=0.2727\cdots$$よって、答えは$$~~~0.\dot{2}\dot{7}$$となります。
$${\large ②}~~\frac{3}{4}$$\(3\div4\) を計算すると、$$\hspace{ 10 pt}3\div4=0.75\cdots$$よって、答えは$$~~~0.75$$となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) 次の分数を有限小数と循環小数に分類せよ。$$~~~\frac{5}{12}~,~\frac{7}{8}~,~\frac{8}{15}~,~\frac{9}{20}$$
\({\large \frac{5}{12}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~12=2^2\times3$$これより、素因数に \(2~,~5\) 以外の数があるので、循環小数となります。
\({\large \frac{7}{8}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~8=2^3$$これより、素因数に \(2~,~5\) だけになるので、有限小数となります。
\({\large \frac{8}{15}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~15=3\times5$$これより、素因数に \(2~,~5\) 以外の数があるので、循環小数となります。
\({\large \frac{9}{20}}\) について、分母を素因数分解すると、$$~~~20=2^2\times5$$これより、素因数に \(2~,~5\) だけになるので、有限小数となります。
よって、答えは
有限小数は$$~~~\frac{7}{8}~,~\frac{9}{20}$$循環小数は$$~~~\frac{5}{12}~,~\frac{8}{15}$$となります。
今回のまとめ
循環小数についての表し方は・の付け方に注意しましょう。また、有限小数と循環小数の判別は分母を素因数分解する方法を覚えておきましょう。
