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n進法のかけ算

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今回の問題は「n進法のかけ算」です。

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~101_{(2)}\times111_{(2)}$$$${\small (2)}~413_{(5)}\times24_{(5)}$$

 

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n進法のかけ算

Point:n進法のかけ算各位の数を10進法てして筆算でかけ算していきます。
ただし、\(n\) 以上の数となったら繰り上がる点に注意しましょう。
 
例えば、5進法において、$$~~~4_{(5)}\times3_{(5)}$$について、そのまま10進法として計算すると、$$~~~4\times3=12$$となります。
これを5進法にするので、\(12=5\times2+2\) より、\(22_{(5)}\) となります。

 

問題解説:n進法のかけ算

問題解説(1)

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~101_{(2)}\times111_{(2)}$$

筆算でかけ算していくと、
 \(\hspace{ 30 pt}101\)
 \(\underline{ ~\times\hspace{ 15 pt}111~}\)
 \(\hspace{ 30 pt}101\)
 \(\hspace{ 25 pt}101\)
 \(\underline{ ~+\hspace{ 5 pt}101\hspace{ 12 pt}}\)

次に各位の数をたし算していくと、
一の位はそのまま \(1\) となります。
十の位は \(1+1=2\) となるので、繰り上がって \(10\) となります。
百の位は繰り上がりの数も考えて、\(1+0+1=2\) となるので、繰り上がって \(10\) となります。
千の位は繰り上がりの数も考えて、\(1+1+0=2\) となるので、繰り上がって \(10\) となります。
一万の位は繰り上がりの数も考えて、\(1+1=2\) となるので、繰り上がって \(10\) となります。
よって、
 \(\hspace{ 30 pt}101\)
 \(\underline{ ~\times\hspace{ 15 pt}111~}\)
 \(\hspace{ 30 pt}101\)
 \(\hspace{ 25 pt}101\)
 \(\underline{ ~+\hspace{ 5 pt}101\hspace{ 12 pt}}\)
 \(\hspace{ 14 pt}100011\)
よって、答えは$$~~~100011_{(2)}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の計算をせよ。$${\small (2)}~413_{(5)}\times24_{(5)}$$

はじめに \(413_{(5)}\times4_{(5)}\) を考えると、
一の位は \(3\times4=12\) となり、\(12=5\times2+2\) より、\(22_{(5)}\) となります。
十の位は \(1\times4=4\) より、\(4_{(5)}\) となります。
百の位は \(4\times4=16\) となり、\(16=5\times3+1\) より、\(31_{(5)}\) となります。
よって、各位の数の和は$$~~~~~~3100_{(5)}+40_{(5)}+22_{(5)}$$十の位が \(4+2=6\) より、\(11_{(5)}\) となるので、$$~=3212_{(5)}$$
次に、\(413_{(5)}\times2_{(5)}\) を考えると、
一の位は、\(3\times2=6\) となり、\(6=5\times1+1\) より、\(11_{(5)}\) となります。
十の位は、\(1\times2=2\) より、\(2_{(5)}\) となります。
百の位は、\(4\times2=8\) となり、\(8=5\times1+3\) より、\(13_{(5)}\) となります。
よって、各位の数の和は$$~~~~~~1300_{(5)}+20_{(5)}+11_{(5)}$$$$~=1331_{(5)}$$
これらより、筆算で表すと、
 \(\hspace{ 31 pt}413\)
 \(\underline{ ~\times\hspace{ 20 pt}24~}\)
 \(\hspace{ 25 pt}3212\)
 \(\underline{ ~+\hspace{ 5 pt}1331\hspace{ 10 pt}}\)

次に各位の数の和を考えると、
一の位はそのまま \(2\) となります。
十の位は \(1+1=2\) より、\(2\) となります。
百の位は \(2+3=5\) より、繰り上がって \(10\) となります。
千の位は繰り上がりの数も考えて、 \(1+3+3=7\) より、繰り上がって \(12\) となります。
一万の位は繰り上がりの数も考えて、\(1+1=2\) より、\(2\) となります。
 \(\hspace{ 31 pt}413\)
 \(\underline{ ~\times\hspace{ 20 pt}24~}\)
 \(\hspace{ 25 pt}3212\)
 \(\underline{ ~+\hspace{ 5 pt}1331\hspace{ 10 pt}}\)
 \(\hspace{ 19 pt}22022\)

よって、答えは$$~~~22022_{(5)}$$となります。

 

今回のまとめ

n進法のかけ算は、10進法としてかけ算して \(n\) 以上の数となったらn進法に変えていきましょう。計算が複雑になるのでしっかりと練習しておきましょう。

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