Twitterフォローよろしくお願いします!

不定方程式①

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「不定方程式①」です。

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (1)}~5x+2y=0$$$${\small (2)}~5x+2y=1$$$${\small (3)}~5x+2y=2$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

不定方程式

Point:不定方程式( ⅰ ) \(ax+by=0\) のとき(右辺が \(0\))
例えば、 \(7x-5y=0\) のときは、
\(7x=5y\) と式変形します。
\(7\) と \(5\) は互いに素であるから、\(x\) は必ず \(5\) の倍数となるので、$$~~~x=5m$$ただし、\(m\) は整数。と表すことができます。
③ この式を①の式に代入して \(y\) の値も求めます。
 
( ⅱ ) \(ax+by=c\) のとき(右辺が定数)
例えば、\(7x-5y=1\) のときは、
この式を満たす整数解 \(x~,~y\) を1組見つけます。
このとき、次の表を書くと調べやすくなります。

\(\times1\) \(7\) \(5\)
\(\times2\) \(14\) \(10\)
\(\times3\) \(21\) \(15\)

表より$$~~~-14+15=1$$となるので、\(x=-2~,~y=-3\) が整数解の1つの組となります。
よって、$$~~~7\cdot(-2)-5\cdot(-3)=1$$が成り立ちます。

もとの式と①で求めた式の両辺を引き算します。
\(\hspace{ 75 pt}7x-5y=1\)
\(\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~7\cdot(-2)-5\cdot(-3)=1~}\)
これより、$$~~~7(x+2)-5(y+3)=0$$移項すると、$$~~~7(x+2)=5(y+3)$$③ できた式を( ⅰ )と同様に解いて、整数解を求めます。

 

問題解説:不定方程式①

問題解説(1)

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (1)}~5x+2y=0$$

式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}5x=-2y~~\cdots{\large ①}$$ここで、\(x~,~y\) は整数で \(5\) と \(-2\) は互いに素である。
よって、\(x\) は \(2\) の倍数となるので、$$~~~x=2m~~\cdots{\large ②}$$ただし、\(m\) は整数となります。
これを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2y$$両辺を入れ替えて \(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2y=5\cdot2m$$$$\hspace{ 23 pt}y=-5m~~\cdots{\large ③}$$よって、②と③より求める整数解は$$~~~x=2m~,~y=-5m$$ただし、\(m\) は整数
となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (2)}~5x+2y=1$$

$$~~~5x+2y=1~~\cdots{\large ①}$$これを満たす整数解は、

\(\times1\) \(5\) \(2\)
\(\times2\) \(10\) \(4\)

この表より、\(5-4=1\) となるので、$$~~~x=1~,~y=-2$$これが整数解の1つの組となります。
よって、$$~~~5\cdot1+2\cdot(-2)=1~~\cdots{\large ②}$$が成り立ちます。

次に①から②の両辺を引き算することより、
\(\hspace{ 59 pt}5x+2y=1\)
\(\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~5\cdot1+2\cdot(-2)=1~}\)
これより、$$\hspace{ 10 pt}5(x-1)+2(y+2)=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}5(x-1)=-2(y+2)~~\cdots{\large ③}$$ここで、\(x-1~,~y+2\) は整数で、\(5\) と \(-2\) は互いに素である。
よって、\(x-1\) は \(2\) の倍数となるので、$$~~~x-1=2m~~\cdots{\large ④}$$ただし、\(m\) は整数となります。
これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2\cdot(y+2)$$両辺を入れ替えて、\(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2(y+2)=5\cdot2m$$$$\hspace{ 31 pt}y+2=-5m~~\cdots{\large ⑤}$$
よって、④より$$\hspace{ 10 pt}x-1=2m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2m+1$$
また、⑤より$$\hspace{ 10 pt}y+2=-5m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-5m-2$$
したがって、整数解は$$~~~x=2m+1~,~y=-5m-2$$ただし、\(m\) は整数
となります。

 

問題解説(3)

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (3)}~5x+2y=2$$

$$~~~5x+2y=2~~\cdots{\large ①}$$これを満たす整数解は、

\(\times1\) \(5\) \(2\)
\(\times2\) \(10\) \(4\)
\(\times3\) \(15\) \(6\)
\(\times4\) \(20\) \(8\)

表より、\(10-8=2\) となるので、$$~~~x=2~,~y=-4$$これが整数解の1つの組となります。
よって、$$~~~5\cdot2+2\cdot(-4)=2~~\cdots{\large ②}$$が成り立ちます。

次に①から②の両辺を引き算すると、
\(\hspace{ 59 pt}5x+2y=2\)
\(\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~5\cdot2+2\cdot(-4)=2~}\)
これより、$$\hspace{ 10 pt}5(x-2)+2(y+4)=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}5(x-2)=-2(y+4)~~\cdots{\large ③}$$ここで、\(x-2~,~y+4\) は整数で、\(5\) と \(-2\) は互いに素である。
よって、\(x-2\) は \(2\) の倍数となるので、$$~~~x-2=2m~~\cdots{\large ④}$$ただし、\(m\) は整数となります。
これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2\cdot(y+4)$$両辺を入れ替えて、\(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2(y+4)=5\cdot2m$$$$\hspace{ 31 pt}y+4=-5m~~\cdots{\large ⑤}$$
よって、④より$$\hspace{ 10 pt}x-2=2m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2m+2$$
また、⑤より$$\hspace{ 10 pt}y+4=-5m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-5m-4$$
したがって、整数解は$$~~~x=2m+2~,~y=-5m-4$$ただし、\(m\) は整数
となります。

 

今回のまとめ

不定方程式の解を求める手順は少々難しいですが、しっかりと解法を理解し、できるように練習しておきましょう。

【問題一覧】数学A:整数の性質
このページは「高校数学A:整数の性質」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...