不定方程式
例えば、 \(7x-5y=0\) のときは、
① \(7x=5y\) と式変形します。
② \(7\) と \(5\) は互いに素であるから、\(x\) は必ず \(5\) の倍数となるので、$$~~~x=5m$$ただし、\(m\) は整数。と表すことができます。
③ この式を①の式に代入して \(y\) の値も求めます。
( ⅱ ) \(ax+by=c\) のとき(右辺が定数)
例えば、\(7x-5y=1\) のときは、
① この式を満たす整数解 \(x~,~y\) を１組見つけます。
このとき、次の表を書くと調べやすくなります。
| \(\times1\) | \(7\) | \(5\) |
| \(\times2\) | \(14\) | \(10\) |
| \(\times3\) | \(21\) | \(15\) |
表より$$~~~-14+15=1$$となるので、\(x=-2~,~y=-3\) が整数解の１つの組となります。
よって、$$~~~7\cdot(-2)-5\cdot(-3)=1$$が成り立ちます。
② もとの式と①で求めた式の両辺を引き算します。
\(\hspace{ 75 pt}7x-5y=1\)
\(\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~7\cdot(-2)-5\cdot(-3)=1~}\)
これより、$$~~~7(x+2)-5(y+3)=0$$移項すると、$$~~~7(x+2)=5(y+3)$$③ できた式を( ⅰ )と同様に解いて、整数解を求めます。
問題解説：不定方程式①
問題解説(1)
式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}5x=-2y~~\cdots{\large ①}$$ここで、\(x~,~y\) は整数で \(5\) と \(-2\) は互いに素である。
よって、\(x\) は \(2\) の倍数となるので、$$~~~x=2m~~\cdots{\large ②}$$ただし、\(m\) は整数となります。
これを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2y$$両辺を入れ替えて \(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2y=5\cdot2m$$$$\hspace{ 23 pt}y=-5m~~\cdots{\large ③}$$よって、②と③より求める整数解は$$~~~x=2m~,~y=-5m$$ただし、\(m\) は整数
となります。
問題解説(2)
$$~~~5x+2y=1~~\cdots{\large ①}$$これを満たす整数解は、
| \(\times1\) | \(5\) | \(2\) |
| \(\times2\) | \(10\) | \(4\) |
この表より、\(5-4=1\) となるので、$$~~~x=1~,~y=-2$$これが整数解の１つの組となります。
よって、$$~~~5\cdot1+2\cdot(-2)=1~~\cdots{\large ②}$$が成り立ちます。
次に①から②の両辺を引き算することより、
\(\hspace{ 59 pt}5x+2y=1\)
\(\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~5\cdot1+2\cdot(-2)=1~}\)
これより、$$\hspace{ 10 pt}5(x-1)+2(y+2)=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}5(x-1)=-2(y+2)~~\cdots{\large ③}$$ここで、\(x-1~,~y+2\) は整数で、\(5\) と \(-2\) は互いに素である。
よって、\(x-1\) は \(2\) の倍数となるので、$$~~~x-1=2m~~\cdots{\large ④}$$ただし、\(m\) は整数となります。
これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2\cdot(y+2)$$両辺を入れ替えて、\(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2(y+2)=5\cdot2m$$$$\hspace{ 31 pt}y+2=-5m~~\cdots{\large ⑤}$$
よって、④より$$\hspace{ 10 pt}x-1=2m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2m+1$$
また、⑤より$$\hspace{ 10 pt}y+2=-5m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-5m-2$$
したがって、整数解は$$~~~x=2m+1~,~y=-5m-2$$ただし、\(m\) は整数
となります。
問題解説(3)
$$~~~5x+2y=2~~\cdots{\large ①}$$これを満たす整数解は、
| \(\times1\) | \(5\) | \(2\) |
| \(\times2\) | \(10\) | \(4\) |
| \(\times3\) | \(15\) | \(6\) |
| \(\times4\) | \(20\) | \(8\) |
表より、\(10-8=2\) となるので、$$~~~x=2~,~y=-4$$これが整数解の１つの組となります。
よって、$$~~~5\cdot2+2\cdot(-4)=2~~\cdots{\large ②}$$が成り立ちます。
次に①から②の両辺を引き算すると、
\(\hspace{ 59 pt}5x+2y=2\)
\(\hspace{ 10 pt}\underline{-~)~~5\cdot2+2\cdot(-4)=2~}\)
これより、$$\hspace{ 10 pt}5(x-2)+2(y+4)=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}5(x-2)=-2(y+4)~~\cdots{\large ③}$$ここで、\(x-2~,~y+4\) は整数で、\(5\) と \(-2\) は互いに素である。
よって、\(x-2\) は \(2\) の倍数となるので、$$~~~x-2=2m~~\cdots{\large ④}$$ただし、\(m\) は整数となります。
これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}5\cdot2m=-2\cdot(y+4)$$両辺を入れ替えて、\(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}-2(y+4)=5\cdot2m$$$$\hspace{ 31 pt}y+4=-5m~~\cdots{\large ⑤}$$
よって、④より$$\hspace{ 10 pt}x-2=2m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2m+2$$
また、⑤より$$\hspace{ 10 pt}y+4=-5m$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-5m-4$$
したがって、整数解は$$~~~x=2m+2~,~y=-5m-4$$ただし、\(m\) は整数
となります。
今回のまとめ
不定方程式の解を求める手順は少々難しいですが、しっかりと解法を理解し、できるように練習しておきましょう。
